Folge: Beweis einer Aussage mit Summenzeichen.

Question

Ich habe zwei Folgen gegeben und soll die Aussage unten beweisen. Ich weiß leider gar nicht wie ich vorgehen soll.. Hat jemand einen Tipp.?

Answer 1

Hi,
die Folge ist definiert als
$$ r_k = b r_{k-1} - x_k $$
Durch nacheinander einsetzen kommt man zu der Vermutung das gilt
$$ r_k = b^k r_0 - b^k \sum_{j=1}^k \frac{x_j}{b^j} $$ Das kann man mit Induktion leicht beweisen,

Daraus folgt
$$ br_{k-1} = b\left( b^{k-1} r_0 - b^{k-1} \sum_{j=1}^{k-1} \frac{x_j}{b^j} \right) = b^k r_0 - b^k \sum_{j=1}^{k-1} \frac{x_j}{b^j}  $$

Comments

Hey das klingt schonmal super! Werde es mir gleich genauer anschauen danke!

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Also so wie du es schreibst das verstehe ich alles, ich wollte das jetzt grad mit induktion versuchen,aber da hakt es dann schon wieder..

Kann man sich irgendwo die Schritte anschauen? Also nicht von der Induktion allgemein sondern von speziell dieser Aufgabe..

Oder hast du vielleicht noch einen Tipp?

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Hi,
zu zeigen ist ja
$$ r_k = b^k r_0 - b^k \sum_{j=1}^k \frac{x_j}{b^j} $$

Induktionsanfang: Es ist zu zeigen das gilt
$$ r_1 = b^1 r_0 - b^1 \sum_{j=1}^1 \frac{x_j}{b^j} = b r_0 - b \frac{x_1}{b} = b r_0 - x_1  $$ Das folgt aber gerade aus der Definiton der Folge \( r_k \)

Induktionsschluss: Wenn die Annamhe für \( r_k \) gilt, ist jetzt zu zeigen, dass gilt
$$ r_{k+1} = b^{k+1} r_0 - b^{k+1} \sum_{j=1}^{k+1} \frac{x_j}{b^j} $$
Aus der Definition der Folge \( r_k \) und aus der Induktionsannahme folgt
$$ r_{k+1} = b r_k - x_{k+1} = b \left[ b^{k} r_0 - b^{k} \sum_{j=1}^{k} \frac{x_j}{b^j}  \right] - x_{k+1} $$ also gilt
$$ r_{k+1} = b^{k+1} r_0 - b^{k+1} \sum_{j=1}^{k} \frac{x_j}{b^j} - x_{k+1} = b^{k+1} r_0 - b^{k+1} \sum_{j=1}^{k+1} \frac{x_j}{b^j}  $$
was zu beweisen war.