Reihen und Folgen: Gleichseitiges Dreieck mit einbeschriebenen Dreiecken.

Question

EInem gleichseitigen Dreieck mit der Seite a wird ein zweites Dreieck so eingeschrieben, dass die Eckpunkte auf die Seitenmitten fallen, in dieses wird wiederum auf dieselbe Art ein Dreieck eingeschrieben. usw.

a) Bestimme die Summe der ersten 15 so entstandenen Umfänge

b) Bestimme die Summe aller so entstandenen Dreiecksflächen

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Answer 1

EInem gleichseitigen Dreieck mit der Seite a wird ein zweites Dreieck so eingeschrieben, dass die Eckpunkte auf die Seitenmitten fallen, in dieses wird wiederum auf dieselbe Art ein Dreieck eingeschrieben. usw.

a) Bestimme die Summe der ersten 15 so entstandenen Umfänge.

u1 = 3a

jedes einbeschriebene Dreieck hat jeweils die halben Seitenlängen des vorangehenden. Dadurch halbiert sich auch der Umfang.

u2 = 3a/2

u3 = 3a/4

....

Jetzt die ersten 15 Umfänge mit der Formel für geometrische Summen addieren. 3a kannst du dazu vor das Summenzeichen schreiben.

b) Bestimme die Summe aller so entstandenen Dreiecksflächen.

Durch das Einbeschreiben entstehen immer 4 Teildreiecke mit der gleichen Fläche.

Sei die Erste Fläche F

Also

F1 = F

F2 = F/4

F3 = F / 16

....

Summe berechnen mit Formel für geometrische Reihen.

F steht wiederum vor dem Summenzeichen.

Eine Formel F kannst du in einer Formelsammlung / Wikipedia nachschlagen oder mit dem Pythagoras herleiten.

Comments

Stimmt für a)

s_n = a₁* (qⁿ -1)/(q-1)

s_n= 3a * ((1/2)¹⁵-1)/(1/2 -1)= 3a *2= 6a

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Ja. Das sollte stimmen.

Allerdings wolltest du eher nicht runden, wenn du explizit nur 15 Dreiecke addieren sollst.

Bei 6 a hast du bereits die Summe der Umfänge von unendlich vielen Dreiecken.

Daher

1.99994 * 3 a    | ohne Rundung (mit Speicher) weitergerechnet:

≈ 5.9998 a