Geometrische Reihe. Inkreis eines Quadrates, das einem Kreis einbeschrieben ist.

Question

Einem Kreis vom Radius r ist ein Quadrat eingeschrieben. Dem Inkreis des Quadrates wird ein zweites Quadrat eingeschrieben u.s.w. ... Dieses Konstruktionsverfahren wird unbegrenzt fortgesetzt. Berechne a) die Summe der Flächeninhalte aller Kreise, b) die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate, c) die Summe der Umfänge aller Kreise, d) die Summe der Umfänge aller Quadrate.

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Bitte mit Rechenschritten, danke.

Answer 1

Betrachte zunächst folgende Skizze.

Der äußere Kreis habe den Radius \(r_0\). Das Quadrat \(ABCD\) habe die Kantenlänge \(a_0\). Seine Diagonale \(d_0\)(schwarz) hat nach Pythagoras die Länge \(d_0 = a_0 \sqrt{2}\). Die Diagonale ist aber auch gleich zweimal der Radius \(r_0\): $$d_0 = a_0 \sqrt{2} = 2 r_0 \quad \rightarrow a_0 = r_0 \sqrt{2}$$ Allgemein gilt: $$a_i = r_i \sqrt{2}$$ Die Kantenlänge \(a_0\) des Quadrats ist identisch mit dem halben Radius \(r_1\) (rot) des inneren Kreises \(a_0 = 2r_1\). Bzw. allgemein: $$r_i = \frac12 a_{i-1}$$ Die rekursive Formel für die Radien der Kreise lautet demnach: $$r_i = \frac12 a_{i-1} =r_{i-1} \frac12 \sqrt{2} \quad \Rightarrow r_i = r_0 \left( \frac12 \sqrt{2}\right)^i$$ Und für die Kantenlängen gilt das gleiche: $$a_i = r_i \sqrt{2} = a_{i-1} \frac12 \sqrt{2} \quad \rightarrow a_i = a_0 \left( \frac12 \sqrt{2}\right)^i$$

a) Die Summe der Flächeninhalte aller Kreise ist (s. geometrische Reihe)

$$ \sum A_K = \sum \pi r_i^2 = \cancel{\pi \sum r_0 q^i = \pi \frac{r_0}{1 - q} = \frac{\pi r_0}{1 - \frac12 \sqrt{2}} = \pi r_0 (2+\sqrt{2}) } \\ \space = \pi \sum_{i=0}^{\infty} \left( r_0 \left( \frac12 \sqrt{2}\right)^i \right)^2 = \pi r_0^2 \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac12 \right)^i = \pi r_0^2 \frac{1}{1-\frac12} = 2 \pi r_0^2$$

b) die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate

$$ \sum A_Q =  \sum a_i^2 = \cancel{ \sum a_0 q^i = r_0 \sqrt{2} \sum q^i = \frac{r_0 \sqrt{2}}{1- \frac12 \sqrt{2}} = 2 r_0 (1 + \sqrt{2}) } \\ \space = \sum_{i=0}^{\infty} \left( a_0 \left( \frac12 \sqrt{2} \right) ^i \right)^2 = a_0^2 \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac12\right)^i = 2a_0^2 = 4 r_0^2$$

c) die Summe der Umfänge aller Kreise

$$\sum U_K = \sum 2\pi r_i = 2\pi \sum r_0 q^i = \dots $$ ... den Rest schaffst Du alleine - oder?

Gruß Werner

Comments

Erstmal vielen Dank für Ihrer Mühe Werner, doch ich habe die Lösungen gegeben und bekomme für a) 2r²π, für b) 4r², c) 2rπ(2+√2) und für d) 8r(1+√2) heraus.

---

Und weshalb wissen Sie das die Diagonale des zweiten Kreisen zweimal der Radius de ersten Kreises ist?

Vielen Dank und LG

---

... doch ich habe die Lösungen gegeben und bekomme für a) 2r²π, ...

Oh ja stimmt - ich hatte bei der Berechnung der Summe das Quadrieren unterschlagen und den Fehler konsequent sowohl bei den Kreisen als auch bei den Quadraten gemacht. Ich habe die Antwort korrigiert (s.o.)

Und weshalb wissen Sie das die Diagonale des zweiten Kreisen zweimal der Radius de ersten Kreises ist?

Stimmt nicht - steht da auch nicht! Die Diagonale \(d_0\) des ersten Quadrats ist zweimal der Radius des ersten Kreises. Also: \(d_0 = 2r_0\). Das folgt unmittelbar aus der Skizze:


Der Mittelpunkt \(M\) des Kreises fällt mit dem Mittelpunkt des Quadrats, der gleichzeit Schnittpunkt der Diagonalen ist, zusammen. Jede Strecke vom Mittelpunkt zum Kreis ist gleich lang und ist der Radius \(r\) (rot) des Kreises. Die Diagonalen \(|AC|\) und \(|BD|\) haben die Länge \(d\): $$|MA| = |MC| = r \\d = |AC| = |MA| + |MC| = 2r$$