Untersuche die Konvergenz der Reihe...

Question

Abend :)

Ich versuche mich zur Zeit an einer Aufgabe. Ich muss die Konvergenz einer Reihen untersuchen.

Hier die Reihe:

Nun habe ich gedacht ich wende das Majorantenkriterium an.

Meine Vorgehensweise:

Stimmen meine Überlegungen? Ich denke, meine Abschätzung ist falsch.

Außerdem habe ich eine weitere Frage. Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz untersuchen muss, muss ich dann auch den Grenzwert angeben? Die Grenzwertsätze kann ich bei Reihen nicht verwenden, oder?

Bin ein Anfänger in diesem Gebiet und das ist meine erste Reihe auf Konvergenz untersuche....also Fehler sind zu erwarten. :/

Kann mir hier jemand helfen?

Danke :D

Answer 1

Deine Überlegungen stimmen nicht. Du hast einen Fehler gemacht, es gilt \( \sqrt{1/k^2} = 1/k\).

Hier sieht man leicht, dass die Reihe divergiert, denn für große \(k\) gilt \(\sqrt{k(k+1)} \approx \sqrt{k^2} = k\) (-> Verhalten ähnelt der harmonischen Reihe). Also solltest du nach einer divergenten Minorante suchen.

Um die Konvergenz von Reihen der Form \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) zu untersuchen sollte man allgemein wie folgt vorgehen: 

1. Prüfe, ob \(a_n\) eine Nullfolge ist. Wenn nicht, ist die Reihe divergent.

2. Schau genau hin, ob du sofort eine konvergente Majorante oder divergente Minorante siehst. Falls du nicht sofort etwas siehst, dann:

3. Benutze das Wurzel- und/oder Quotientenkriterium. Falls dies zu keinem Ergebnis führt, musst du zu 2. zurückkehren.

Solltest du alternierende Glieder haben, d.h. \(a_n = (-1)^n b_n\), dann verwende das Leibnizkriterium oder versuche die absolute Konvergenz der Reihe zu zeigen, indem du 1.-3. benutzt. Falls das alles nichts bringt, musst du kreativ werden.

Answer 2

für alle \(k\ge1\) gilt offenbar \(k\le k^2\). Es folgt \(k^2+k\le2k^2\) und daraus$$\frac1{\sqrt{k(k+1)}}\ge\frac1{\sqrt2}\frac1k.$$Daher folgt die Divergenz der Reihe aus der Divergenz der harmonischen Reihe.