a.) Gesucht ist eine Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A=(2/6) und B=(7/5) geht und den Radius r=Wurzel aus 65 hat.
Der Mittelpunkt des gesuchten Kreises liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB (Geradengleichung aufstellen und umformen zu y=... ) und hat den Abstand r von A und B.
Pythagoras aufstellen, y = ... einsetzen.x berechnen.y berechnen.
(Es gibt 2 solche Kreise und auch 2 Mittelpunkte).
b.) Zeige, dass der Punkt P=(-5/5) im Inneren des Kreises k: (X-1)2+(y-2)2=50 liegt.
Berechne den Abstand d von M(1/2) und P(-5|5).
Wenn d < √50 gilt, liegt P im Innern des Kreises.
Ermittle die Länge und die Eckpunkte der kürzesten Sehne von k, die durch P verläuft.
Die kürzeste Sehne s steht senkrecht auf dem Vektor MP. Sie geht durch P.
möglicher Rechenweg:
Bestimme die Gleichung von sverlängert (Gerade) und schneide sie mit dem Kreis. --> 2 Punkte. Gesucht ist der Abstand dieser beiden Punkte.
Kürzer: mit Hilfe des Pythagoras: Länge von s = 2* √(50 - | MP|^2)
c.) Zeige, dass die Lösungsmenge der Gleichung x2+y2+ax+by+c=0 immer entweder einem Kreis, einem Punkt oder der leeren Menge entspricht . Unter welchen Bedingungen an die Koeffizienten a,b,c ist dies jeweils der Fall?
Benutze die quadratische Ergänzung, um zu einer Gleichung der Form (x + (a/2))^2 + (y+(b/2))^2 = d zu kommen. Nun unterscheidest du die Fälle d = 0, d<0 und d>0.
