Grenzverhalten bei e^x und lnx

Question

Hi,
ich habe die mich an die erste Aufgabe gesetzt. Wäre nett, wenn ihr mir sagen könntet, ob diese richtig ist.

zuerst habe ich den Bruch in e^-x * x^lnx umgeformt
Der Limes von e hoch minus unendlich geht ja stärker gegen 0 als es x^lnx tut. Habe dann direkt daraus gefolgert, dass der Grenzwert deshalb 0 ist. Stimmt das so oder verwendet man da einen anderen Weg?^^

und zur 2. Aufgabe habe ich Das in der Klammer nur etwas vereinfacht.. Haber leider keinen Schimmer, wie ich auf lnx als Grenzwert komme, habt ihr vielleicht ein paar Tipps?^^

Comments

Der Limes von e hoch minus unendlich geht ja stärker gegen 0 als es x^lnx tut.

Schon möglich - aber das ist kein Nachweis und deine Folgerung hängt in der Luft ...

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Das Umformen war gar nict nötig. Ein Bruch, dessen Nenner schneller gegen Unendlich geht, als der Zähler, geht gegen Null.

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Das Umformen war gar nicht nötig. Ein Bruch, dessen Nenner schneller gegen Unendlich geht, als der Zähler, geht gegen Null.

Warum?

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Bilde eine wachsende Zählerfolge (z.B. n) und dazu eine Nennerfolge (z.B. 2hoch n), die schneller wächst. Dann siehst du es. Ein Beweis ist das natürlich nicht. Aber in der Schule reicht das.

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danke für die schnellen Antworten.
Was mache ich denn stattdessen?

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Es reicht vielleicht für die Schule aber nicht für die Uni^^.
Und da liegt auch schon das Problem^^

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xhoch lnx ist gleich ehoch( (lnx) zum Quadrat). Dann haben Zähler und Nenner die gleiche Basis und der gegebene Bruch kann als Potenz e hoch((lnx)Quadrat minus x) geschrieben werden. Der Exponent dieser Potenz geht gegen minus Unendlich. Dann geht die Potenz gegen Null.

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Jetzt müsste man nur noch den Beweis führen, dass $$\lim _{x \rightarrow \infty} \quad \left(\ln\left(x^{}\right)\right)^2- x \quad = - \infty $$

... ???

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Das ist sicher richtig, dass dieser Beweis jetzt folgen müsste. Dazu habe ich nur die Idee x = 10^n zu setzen und nach Anwendung eier Logarithmenregel n gegen Unendlich gehen zu lassen.

Answer 1

und bei b) eher so:

(mit a statt x und x statt n

x* (a^1/x - 1 )   Typ   unendlich * 0 also

= (a^1/x - 1 )  /  ( 1/x)   jetzt hast du Typ 0/0 und kannst Hospital anwenden.

Answer 2

Anregung:$$$$
Annahme:
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{\ln(x)}}{e^x} =0 $$
ist erfüllt, wenn:
$$ x^{\ln(x)}\lt e^x \quad|\quad    x\gt1 \land x \in \mathbb{R}$$
$$ \ln\left(x^{\ln(x)}\right)\lt \ln (e^x)$$
$$ \ln(x) \cdot \ln\left(x^{}\right)\lt x$$
$$ \left(\ln\left(x^{}\right)\right)^2\lt x$$
$$ \ln(x^{})\lt \sqrt x$$

Comments

Kann ich so auch beweisen, dass lim [x->oo]   x / (2x)  =  0  ist ?

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lim [x->oo]   x / (2x)  =  0

$$ \lim _{x \rightarrow \infty } \quad \frac   x {2x}  \quad =  \quad \frac12$$