Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen ft gemeinsam?

Question

Gegeben ist die Funktionenschar ft ( t ∑ ℝ ) mit f_t(x) ) tx^3 - 4tx Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f_t gemeinsam ?
Ich soll jetzt t durch r und s ersetzen und dann halt die gemeinsamen Punkte bestimmen.
Also so irgendwie: rx^3-4rx = sx^3-4sx Jetzt weiß ich nicht weiter. Man kann den Term ja zb in GeoGebra eingeben und deswegen weiß ich auch das die Lösungen 0,-2 und 2 sind aber wie man jetzt dank der Gleichsetzung von r=s kommt weiß ich nicht.Bitte um Hilfe

Answer 1

rx³-4rx = sx³-4sx

⇔ rx³-sx³-4rx+4sx = 0 (durch Subtraktion von sx³-4sx)

⇔ (r-s)x³-4(r-s)x = 0 (durch Zusammenfassen)

⇔ x((r-s)x²-4(r-s)) = 0 (durch Ausklammern von x)

⇔ x = 0 ∨ (r-s)x²-4(r-s)x = 0 (durch Satz vom Nullprodukt)

⇔ x = 0 ∨ (r-s)x²= 4(r-s) (durch Addition von 4(r-s))

⇔ x = 0 ∨ x²= 4 (durch Division von (r-s))

⇔ x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = -2 (durch wurzeln)