Analysis e-Funktion: "Steckbriefaufgabe" h(t) = a·t·e^{-bt^2}

Question

Der Gärungssprozess eines Teiges ist nach 12 Minuten abgeschlossen. Zudem ist die maximale Gärung schon nach 4 Minuten erreicht. Wie muss die Funktion f(t)=2t·e^{-0,02^2} verändert werden, damit diese den Gärungsprozess des "leichten Hefeteiges "beschreibt.

Hintergrund: Die Funktion f(t)=2t·e^{-0,02^2} beschreibt den Aufgehprozess des "schweren Teiges". Dabei ist t= Zeit in min und f(t)=Änderungsrate des Volumens in cm³/min. Zudem ist der HP (5/6,07) und der WP₁(8,66/3,87).

Mein Ansatz:
> Neue Funktion: h(t) = a·t·e^{(-bt^2)}

> gesucht sind a und b

> 1. Lösungsansatz: h(12) = 0 => h(12) = a·12·e^{(-b·12^2)} = 12a·e^{(-12b^2)}

Produktregel u'·v+u·v'

u = 12a
u' = 12
v = e^{(-12b^2)}
v' = -24b·e^{(-12b^2)}

h(12) = 12·e^{(-12b^2)}+12a·(-24b·e^{(-12b^2)}) = e^{(-12b^2)}·(12·12a·(-24b))=...  ich denke, hier habe ich einen Fehler?

> 2. Ansatz: Erste Ableitung bilden und dann Nullstelle berechnen; h'(4) = 0 => h'(4) =

> daraus folgt: h(12)= 0 und h'(4); also h(12)=h'(4)

Answer 1

Bei dir sind mehrere Fehler im Text vorhanden.

Wichtig ist. Die allgemeine Formel heißt

f ( t ) = a * t * e^{-b*t^2}

Der Gärungssprozess eines Teiges ist nach 12 Minuten abgeschlossen.
Zudem ist die maximale Gärung schon nach 4 Minuten erreicht.

Frage :
Um welche Punkte handelt es sich hierbei:
t = 4 min : Hochpunkt
t = 12 min kann kein Punkt sein bei dem die Funktion zu 0 wird f ( 12 )  = 0
Die E-Funktion ist stets größer 0. Nur bei t = 0 ist die Funktion null.

Ist mit t = 12 min vielleicht der Wendepunkt gemeint ?
Dies dürfte das wahrscheinlichste sein.

Deine Meinung dazu ?

mfg Georg

Comments

Hallo Georg,

zunächst vielen Dank für deine Antwort.

Mit Hilfe der Ergebnisse (siehe HP nach 5 Minuten und Nullstelle bzw. Annährung an die x-Achse nach ca. 15 min) aus den vorherigen Aufgabenteilen a) bis c), wo ich mit der Funktion f(t)=2te^{(-0,02t^2)} gerechnet habe, leite ich für diesen Aufgabenteil d) mithilfe der gegebenen Lösungsansätze meine neue Funktion h(t)=a·t·e^{(-bt^2)}.

Da ich aus den vorerhigen Aufgaben weiß, dass der "schwere Teig" bei 5 Minuten seine maximale Änderungsrate des Volumens (cm^3/min) erreicht hat, kann ich die Rechnung auch hier anwenden mit h'(4)=0 (Hier benötige ich Hilfe bei der Ableitung). Außerdem weiß ich aus der vorherigen Rechnung mit f(t), dass der Teig nach 15 min. nahezu abgeschlossen ist. Der Wert der Änderungsrate beträgt hier nur noch 0,333 cm³/min.
Hier wird meiner Meinung nicht der Wendepunkt gesucht (der beim "schweren Teig" bei 8,66/3,87 war), sondern die Nullstelle, die ich bei diesem Aufgabenteil mit h(12)=0 bestimme.

Hier ein Screenshot vom Graphen von f(t)=2te^{(-0,02t^2)} (http://rechneronline.de/funktionsgraphen/).

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sachliche Fehler :

dass der "schwere Teig" bei 5 Minuten seine maximale Änderungsrate des
Volumens (cm³/min) erreicht hat

Die Änderungsrate bei x = 5 ist 0.
Am Extrempunkt ist die Änderungsrate 0.

Außerdem weiß ich aus der vorherigen Rechnung mit f(t), dass der Teig
nach 15 min. nahezu abgeschlossen ist.

" Nahezu " ist ok. Aber wischi-waschi. Man könnte dasselbe auch von den
Punkten x = 12 oder x = 18 oder x = 123 behaupten.

Hier schon einmal die erste Ableitung
f ( t ) = a * t * e^{-b*t^2}
f ( t ) = a * ( 1 *  e^{-b*t^2} + t * e^{-b*t^2} * ( -2*b*t) )
f ( t ) = a * e^{-b*t^2} * ( 1  + t * ( -2*b*t) )
f ( t ) = a * e^{-b*t^2} *  ( 1  - 2 * b * t^2  )

f ( 4 ) = a * e^{-b*4^2} *  ( 1  - 2 * b * 4^2  ) = 0