Grenzwert der rekursiven Folge

Question

x₁:= 2, x_n+1 := x_n/2 + 1/x_n

Ich habe bereit bewiesen, dass die rek. Folge konvergent ist, nun muss ich den Grenzwert berechnen, also

lim_n↦∞ x_n=a oder  lim_n↦∞ x_n+1=a , also

lim_n↦∞ x_n/2 + 1/x_n = a      ⇔ a/2 + 1/a = a ⇔ 2a^2-a =1 ⇔ a(2a-1)=1....?

meine Idee ist es vom linken Teil den Grenzwert zu berechnen, habe aber Probleme bei den Umsetzung. Was ist der letzte Schritt?

Answer 1

 " 2a²-a =1   "

 2a²-a -1=0

ist eine quadratische Gleichung für a.

Benutze z.B.  die Mitternachtsformel oder die pq-Formel.

Ich rechne nochmals nach:

 a/2 + 1/a = a       |*2a

a^2 + 2 = 2a^2       Das ist auch eine quadratische Gleichung (aber eine einfachere).

2 = a^2

a = ±√2 

Lass dir rechnerisch von https://www.wolframalpha.com/input/?i=+a%2F2+%2B+1%2Fa+%3D+a helfen, da kannst du Rechenfehler schnell finden.