Logarithmus eines Arguments gleich Argument?

Question

Ich möchte die Gleichung
x = ln(x+2)
lösen. Der Taschenrechner bekommt es heraus mit 1,1462 sowie -1,8414.
Aber wie macht er das? Mit den normalen Logarithmengesetzen bekommt man x nicht isoliert, Nicht alle Aufgaben dieser Bauart sind lösbar, ohne dass da ein W erscheint, das ich nicht begreife. Aber ich muss mich wohl auch nicht daraum kümmern, weil die obige Gleichung zwei reelle Zahlen als Lösungen aufweist. Oder doch?

Answer 1

Hi,

nutze ein Näherungsverfahren. Bspw. Newtonverfahren. Dafür zwei verschiedene Startpunkte wählen (mag natürlich sein, dass man ungeschickt wählt und zweimal dasselbe erhält).

Um Newton anzuwenden forme nach 0 um -> ln(x+2)-x = 0

Genaueres hier: Newtonverfahren

Grüße

Comments

Danke, das ist es. Hätte ich auch von allein drauf kommen können. Aber ich hoffte noch, dass im Rahmen der Logarithmus-Gesetze eine Umformung möglich ist. Ich habe es mal auf 4 Stellen angenähert, Das ging sogar ziemlich fix.
Also vielen Dank
und viele Grüße,
Arithmetix

Answer 2

hier noch ein schönes Plotterbild. Kann man immer machen, um gute Startwerte für das Näherungsverfahren zu finden.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Auch wenn die hilfreichste Antwort schon vergeben wurde, möchte ich noch die exakte Lösung

zeigen siehe

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

x=log(x+2) |exp

e^x=1*x+2 Fall §5 mit a=1, b=1, c=2

x=-LambertW(-1/2+/-1/2,-1/[e^{2}])-2

x1= 1.14619322062058258523706102852...

x2= -1.8414056604369606378466046580...

komplexe Lösungen gibt es hier nicht.

Wie aus §C ersichtlich, ist die Umkehrfunktion zu x*e^x die LambertW(n,x).

Siehe auch Wikipedia.

Alle guten Rechner (wie

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

und WolframAlpha {dort oft nur das W(x) } )

haben sie.