Stammfunktion ln Argument

Question

Hallo ich habe folgendes Problem:

Gegeben ist folgendes unbestimmtes Integral: ∫ (4x)/x²+3) und mann soll die Stammfunktion dazu bilden.

Meiner Meinung nach müsste es 2*ln(x²+3) +C sein. Zur Lösung habe ich das Integral in

2* ∫ (2x)/(x^2+3) umgeformt. Eine andere Alternative wäre es das Integral in ∫ (8x)/(2x²+6) umzuformen. Meiner Meinung nach müsste dann als Stammfunktion aber 2*ln(2*x²+6) +C herauskommen. Das Internet sagt mir jetzt, dass diese beiden Stammfunktionen gleich sind, bzw. man die mit dem 2*x²+6 im Argument in die mit x²+3 im Argument umformen kann. Kann mir jemand erklären wie das funktioniert? Wieso sind sie gleich?

Vielen Dank schonmal

Answer 1

2*ln(2*x^2+6) +C

=2*ln(2*(x^2+3)) +C

=2* (  ln(2) + ln(x^2 + 6) )  + C

=2*ln(2) + 2*ln(x^2 + 3) + C

= C + 2*ln(2) + 2*ln(x^2 + 3)

= C1   + 2*ln(x^2 + 3)

Sie unterscheiden sich also nur in der

Konstanten, und auf die kommt es ja zum

Ausrechnen des Integrals nicht an.