Konvergenz und Grenzwert einer Reihe mit logarithmus

Question

Kann mir jemand ein Tipp für die Rechnung geben?

$$ \sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ ln(1-\frac { 1 }{ n² }  } ) $$

Ist diese Reihe konvergent und welchen Grenzwert hat sie?

Answer 1

Tipp: Rechenregel für Logarithmen und Teleskopsumme.

Die Reihe konvergiert und ihr Grenzwert ist \(-\ln(2)\).

Gruß

Answer 2

Kannst du eine Teleskopsumme draus machen; denn

ln( 1 - 1/n^2 ) = ln ( (1-1/n)*(1+1/n) )

= ln( (n-1)/n)  )  +  ln ((n+1)/n )

= ln(n-1) - ln(n) + ln(n+1) - ln(n)

= ln(n+1) - 2ln(n) + ln(n-1)

und wenn du dir damit mal - etwa für n=2 bis 5 -  die Summe hinschreibst

ln(3) - 2ln(2) + ln(1) + ln(4) - 2ln(3) + ln(2) + ln(5) - 2ln(4) + ln(3) +ln(6) - 2ln(5) +ln(4)

siehst du, dass sich die roten und die blauen und dann auch die weiteren Summanden

alle gegenseituig aufheben, es bleibt also nur

- 2ln(2) + ln(1) + ln(2) =  ln(1) - ln(2) = -ln(2) .

Comments

Das kann man auch ordentlich mit Summenzeichen aufschreiben:

$$ \sum_{n=2}^{z}{ln( 1 - \frac { 1}{ n^2 } )} $$
$$ =\sum_{n=2}^{z}{( ln(n+1) - 2ln(n) + ln(n-1)  )} $$
$$ =\sum_{n=2}^{z}{ ln(n+1)} - 2* \sum_{n=2}^{z}{ ln(n)}+ \sum_{n=2}^{z}{ ln(n-1)} $$
$$=ln(z+1) - ln(z) - 2*ln(2) +ln(2)+ln(1) $$
$$=ln(z+1) - ln(z) - ln(2) $$
$$=ln(\frac { z+1 }{ z }) - ln(2) $$ und wegen
$$ \lim_{z\to\infty}\frac { z+1 }{ z }=1$$

und ln(1)=0  bleibt nur - ln(2)

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Danke :) das habe ich verstanden.. nur wie stelle ich von vorne rein fest, ob diese Reihe konvergent ist?

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mathef: Du hast in der zweituntersten Zeile ln vergessen bzw. 0 statt 1 geschrieben.

Gast: In der Regel muss man schon erst mal ein Stück weit rechnen, bis man sieht, dass die Reihe konvergiert.

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Danke, wird korrigiert.