Kombinatorik - Passwortmöglichkeiten

Question

aufgabe:

Code: 5-stellige Zahl aus 3 verschiedenen Ziffern zusammensetzt.Die Ziffern 0 und 1 kommen nicht vor.

Wie viele Codewörter sind möglich?

Lösung:
Im Anhang = 8400.

Kann mir bitte jemand die Lösungsformel erklären? Eigentlich ist nur die (8über3) klar ^^. und die Kombinatorik Regeln.

Danke

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Answer 1

Code: 5-stellige Zahl aus 3 verschiedenen Ziffern zusammensetzt.Die Ziffern 0 und 1 kommen nicht vor.

Wie viele Codewörter sind möglich?

Also (8 über 3) bestimmt die Anzahl von drei Ziffern aus den 8 Möglichen Ziffern. Wir nehmen jetzt mal 2, 3 und 4 zur verdeutlichung.

Jetzt geht es also um die Anordnung dieser. Zunächst mal soll ich nicht 3 Ziffern haben sondern 5. D.h. ich könnte eine Ziffer 3 Mal nehmen, Das gibt (3 über 1) = 3 Möglichkeiten

2, 3, 4, 4, 4

Und dort gibt es jetzt 5! / 3! = (5 über 3) * 2 = 20 Anordnungen

Ich könnte aber auch 2 Ziffern jeweils 2 mal nehmen. Das gibt (3 über 2) = 3 Möglichkeiten.

2,3,3,4,4

Hier gibt es jetzt 5! / (2! * 2!) = 30 Möglichkeiten

Ich hätte es also eigentlich so geschrieben

COMB(8, 3)·(COMB(3, 1)·5!/3! + COMB(3, 2)·5!/(2!·2!))

Meiner Meinung nach ist das so besser nachzuvollziehen, weil hier nicht der Binomialkoeffizient verrechnet wird.

Comments

Gut beschrieben!

Staune, dass statt Binom(x,y) oder combination(x,y)

auch COMB(x,y) ein gebräuchlicher Funktionsname ist.

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COMB ist vermutlich in diesem meinem programm die abkürzung für combination.

Aber ich denke es sollte in dem Zusammenhang klar sein was das ist. Daher habe ich es nicht weiter kommentiert.

Answer 2

du hast 3 aus 8 Ziffern ausgewählt (\(\binom{8}{3}\) Möglichkeiten). Für eine fünfstellige Zahl aus diesen 3 Ziffern muss eine Ziffer mindestens 2 mal vorkommen.

Fall 1: Eine der 3 Ziffern kommt 3 mal vor. Dann kommen die anderen beiden Ziffern nur einmal vor. Für die eine Ziffer gibt es 5 Positionen, für die andere noch 4 (die restlichen 3 Stellen werden durch die Ziffer aufgefüllt die 3 mal vorkommt).

Also für diesen Fall \(3 \cdot 5 \cdot 4 = 60 \) Möglichkeiten.

Fall 2: Zwei der 3 Ziffern kommen 2 mal vor.  Für die Ziffer, die nur einmal vorkommt gibt es 5 Positionen. Was die beiden Ziffern betrifft, die jeweils 2 mal vorkommen: Es gibt \(\binom{4}{2}\) Möglichkeiten die restlichen 4 Positionen mit der einen Ziffer aufzufüllen, die anderen 2 Positionen sind automatisch mit der anderen Ziffer belegt.

Für diesen Fall gibt es also \(3 \cdot 5 \cdot \binom{4}{2} = 90\) Möglichkeiten.

Da Fall 1 und Fall 2 sich nicht überschneiden gibt es also nach der Wahl der 3 Ziffern \(150\) mögliche fünfstellige Zahlen bestehend aus diesen 3 Ziffern.

Gruß

Answer 3

Die "8 über 3" beziehen sich auf die Auswahl der 3 versch. Ziffern aus 2...9.

sagen wir mal abc.

Jetzt muss man überlegen, wie man aus diesen einen 5er-Code basteln kann

eine Möglichkeit wäre einfach eine der Ziffern noch zweimal zu nehmen.

Dafür gibt es drei Möglichkeiten ( also a dreifach, bdreifach oder dreifach im Code)

und diese Ziffer steht dann an drei Stellen in dem Code und die anderen beiden

Stellen sind durch die anderen beiden Ziffern belegt. Für diese beiden Stellen

gibt es "5 über 2" Möglichkeiten. Wenn z.B. a dreifach genommen wird, wäre eine

Möglichkeit für die Position der anderen beiden Ziffern etwa {2;5 }

also abaac  aber auch acaab  deshalb noch das "mal 2" weil die anderen beiden

ja auch immer getauscht werden können.

So, das waren die Fälle, dass eine Ziffer dreifach genommen wurde.

Andere Möglichkeit wäre nur:  zwei Ziffern doppelt zu nehmen und eine halt nur

einmal.  Für die Anzahl der Auswahlen, welche beiden man doppelt nimmt, gilt "3 über 2"

Wenn ich das entschieden habe (Etwa a und c nehme ich doppelt.) dann kann ich für die

erste dieser Ziffern aus meinen 5 Plätzen zwei auswählen, wo diese Ziffer hin soll, die

Anzahl der Wahlmöglichkeiten ist "5 über 2". von den verbleibenden 3 Plätzen muss einer

für die einfach benutzte Ziffer sein, also 3 Wahlmöglichkeiten, insgesamt also hier

3  * "5 über 2" * "3 über 2" .

Was mich noch etwas stutzig macht ist, ob hier nicht noch *2 fehlt, denn wenn ich die

bei meinem Beispiel oben rot die Positionen der a und c tausche, bekomme ich doch

einen anderen Code ???