Konvergenz von einer Reihe zeigen: ∑(n=1 bis ∞) (x+1/n)^n , |x|<1

Question

ich sitze gerade an einer Aufgabe, die mir viel zu leicht vor kommt. Daher stelle ich einfach mal mein Ergebnis hier online und würde es begrüßen, wenn jemand einen qualifizierten Kommentar abgeben könnte.

Zeige, dass die Reihe konvergent ist ∑(n=1 bis ∞)  (x+1/n)ⁿ  |x|<1

0 < ε < 1 − |x|

Meine Überlegung ist, dass ich einfach zeige, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

lim(n->∞)( (x+1/n)ⁿ = (x+0) ⁿ = xⁿ = 0

Comments

Dein " lim(n->∞)( (x+1/n)ⁿ = (x+0) ⁿ = xⁿ = 0 "

dürfte so nicht stimmen.

Erinnere dich an die Eulersche Zahl 

lim(n->∞)( (1+1/n)ⁿ =e 

Zumindest für x= 1 ist dein Limes falsch. 

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Es gilt aber auch x<1

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guter Einwand.

Was passiert, wenn du x = 1 - 1/(2n) einsetzt?

Darf man nicht, das x fest ist und nur n variiert.

Man kann also schnell ein no bestimmen, ab dem x + 1/n < 1 gilt für alle folgenden Faktoren...

Damit kannst du dann wohl eine konvergente Majorante basteln.

Einziger verbleibender Einwand:

lim darfst du erst am Ende weglassen.

Und du solltest nicht schrittweise n an verschiedenen Stellen gegen unendlich gehen lassen.

lim(n->∞)( (x+1/n)ⁿ = (x+0) ⁿ = xⁿ = 0 

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Also könnte man wenn ich es richtig verstehe, und wenn ich es richtig aufschreibe, durchgehen lassen?

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Ja ich denke, aus deiner Idee könnte eine gute Antwort werden. War aber nur als Kommentar formuliert, damit da möglichst noch jemand genauer hinsieht.

Answer 1

dass die Folge der Summanden eine Nullfolge bildet ist eine notwendige aber noch lange keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe. Somit ist dein Ansatz allein vom Grundgedanken her also schon mal nicht ausreichend.

Versuch es doch mal mit dem Wurzelkritierium.

Alternativ bietet sich das Majorantenkriterium mit ein wenig mehr Überlegung an.

Gruß