Gaußschen Ebene Skizze ohne zu rechnen z^n=1-2i

Question

folgende Aufgabe:

Hier geht es doch darum, ob es ein z^n gibt, das auf der Gerade G liegt oder?

Wie geht es jetzt weiter?

Comments

:)

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Bitte :) Die Antwort ist wichtig. Da es die letzte in einem Test ist.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

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Danke aber was sagt mir das? Ich versteh nicht mal ganz, was bei dieser Frage genau verlangt ist

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Hast du dir den Link durchgelesen?

Die Lösungen der komplexen Gleichung \(z^n=a\) liegen in der Gaußschen Ebene auf einem Kreis mit dem Radius |a|.

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Ok dann heißt das, der Kreis mit dem Radiu √5 schneidet die Gerade G zwei mal oder? Reicht sowas als Antwort? Danke dir :)

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und? stimmt das so?

Answer 1

Die Gerade \(G\) hat den Winkel \(\pi/4\) gegenüber der reellen Achse.

Da sich bei der Multiplikation komplexer Zahlen die Winkel addieren,

muss \(z^n\), wenn \(z\in G\) ist, einen Winkel mit der reellen Achse bilden,

der das \(n\)-fache von \(\pi/4\) modulo \(2\pi\) ist.

Daher kann \(z^n\) nicht auf der Geraden durch \(1-2i\) liegen, da deren Winkel

zur reellen Achse kein solches ganzzahliges Vielfaches ist,

d.h. es gibt kein solches \(z\).