Beweis eines Grenzwertes Mit Wurzeln

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung ( Bild) bei der ich Hilfe benötige

Zumal bedeutet nichtnegativ >=0 , dh a kann 0 oder >0 sein .Was mich zu einer Fallunterscheidung führen würde.

Den Ausdruck an-a Könnten man Faktorisieren (kte√an)^k - (kte√a)^k= (kte√an - kte√a)*((kte√an)^k-1 +.....+(kte√a)^k-1)

jz müsste ich diese Restklammer irgendwie abschätzen können sodass zum Schluss epsilon Steht (laut Definition Limes)

Könte mir da jemand helfen Bitte?

Answer 1

du kannst verwenden, dass \( | \sqrt[k]{x} - \sqrt[k]{y}| \leq \sqrt[k]{|x - y|} \). Falls ihr dem Königsberger folgt, hattet ihr bestimmt schon eine Übung vorher, in der ihr das gezeigt habt. Falls nicht, dann musst du die Ungleichung erst beweisen bevor du sie für den Beweis der Behauptung benutzen kannst.

Gruß

Comments

Hallo , leider haben wir ein analoges Beispiel dazu gemacht , was uns nicht erlaubt diese Überlegung zu benutzen. Aber mal angenommen man könnte sie verwenden,
dann könnte man wegen  |an-a| <epsilon
folgern  das kte√|an-a|< kte√eps <epsilon sein kann ?

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Das gilt ja sowieso weil beide Seiten positiv sind. Wenn man am Anfang auch direkt \(\varepsilon^k\) wählt hat man nach ziehen der k-ten Wurzel nur noch \(\varepsilon\) da stehen. Mit der Ungleichung oben folgt dann die Behauptung

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Ok dankesehr!

Wie könnte man beweisen das die oben genannte Behauptung (im 1 Kommentar ) gilt?

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Meinst du, dass \(\sqrt[k]{a} \leq \sqrt[k]{b}\) falls \(0<a\leq b\)?

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Ich meinte die Behauptung |kte√x -kte√y |≤ kte√|x-y|.

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Sei \(0 \leq a \leq b \). Setze \(x^k = a \) und \(y^k = b-a \). Dann wird aus \(\sqrt[k]{b} - \sqrt[k]{a} \leq \sqrt[k]{b-a} \) die Ungleichung

$$ \sqrt[k]{x^k+y^k} -x \leq y $$

Wenn du diese Ungleichung auf eine wahre Ungleichung zurückführen kannst ist die 1. Ungleichung aus diesem Kommentar gezeigt. Dann kannst du dir überlegen warum dieser Fall bereits ausreicht um die Ungleichung aus meiner Antwort zu beweisen.