komplexe Zahlen berechnen (Bestimmen von Real und Imaginärteil )

Question

Hey , meine Aufgabe ist, den Real-und Imaginärteil der Zahl   

z=  4 / √3  + i zu bestimmen und dann das dann in die Polardarstellung angeben .

Wäre das so richtig ?

z= 4 / √3 +i = 4 (√3 +i) / (√3 +i ) (√3 + i) = 4 √3 -4i / 3+1 = √3 -i

somit wäre der Realteil = √3

und der Imaginärteil = -1

richtig ?

in Polardarstellung:

z=r(cos φ+i sinφ )

r=IzI = √(x² + y²)  = √(3+1) = √4=2 

cos φ= √3 / 2

sin φ= -1 /2 

⇒ φ = π / 6

also: 

z= 2 (cos (π / 6 ) + i sind (π / 6 )

und der 2. Teil meiner Aufgabe ist z⁶⁶ zu berechnen . Kann da mir jemand Tips geben, wie ich es machen soll?

Danke !!

Comments

also das hab ich auch schon mehr oder weniger berechnet nur ich weiß nicht ob das reicht.

z⁶⁶ = (√3 -i)⁶⁶= 2⁶⁶ e ^{i (π / 6) 66} = 2⁶⁶ e ^{i π 11}

so... was muss ich jetzt damit machen ?

Answer 1

√3 -i stimmt.

z= 2 (cos (π / 6 ) + i sind (π / 6 ) ->das stimmt nicht

Wenn Du das ausmultiplzierst , hast Du √3 +i und nicht √3 -i.

√3 -i liegt im 4. Quadranten , also 360 °-30° =330°; φ= -30°

tan φ = (Imaginärteil)/(Realteil)= (-1)/(√3)= -30°

=2 (cos (330° +i sin(330°))

=√3-i

------------------------------------------------------------------------------------

2. Teil:

z^{66}

=(√3 -i)^{66}

z= 2

φ =-30°

-------->

=(2 *e^{-i30°})^66

=2^{66} *e^{-i1980°} = =2^{66} *e^{-i180°}

=2^{66} *(cos(180°9 +i sin(180°)

=- 2^{66}

Comments

ok, vielen Dank . Aber wenn ich 30° mit π durch irgendwas darstellen muss , was ist das dann ?

und beim 2. Teil , warum z=2 ? und am Ende =-2⁶⁶ warum minus? cos() =1 und sin()= 0 oder?

---

- . Aber wenn ich 30° mit π durch irgendwas darstellen muss , was ist das dann ? π/6

und beim 2. Teil , warum z=2 ? und am Ende =-2⁶⁶ warum minus?

------->cos(180°) =-1 und sin()= 0

z=2

Betrag=√(Realteil^2+Imteil^2)

Answer 2

hey kannst du das so einzel aufschreiben mit wurzel 3 und -1 als Real und Imaginär teil weil man ja nur bei der Multiplikation teilweise die wurzel ziehen darf