f(x)=sinh(x) mit Taylor-Formel um x=1 angenähert . In welcher Umgebung der 1 ist der Fehler kleiner als 0.1?

Question

f(x)=sinh(x) mit Taylor-Formel um das Entwicklungszentrum x=1 angenähert . In welcher Umgebung der 1 ist der Fehler kleiner als 0.1?

f(x)=sinh(x)
f'(x)=cosh(x)
f''(x)=sinh(x)
f''''(x)=cosh(x)

f(1)=1,18
f'(1)=1,54
f''(1)=1,18
f''''(1)=1,54

$$ { p }_{ 3 }(x)=1,18+\frac { 1,54 }{ 1 } (x-1)+\frac { 1,18 }{ 2 } { (x-1) }^{ 2 }+\frac { 1,54 }{ 6 } { (x-1) }^{ 3 } $$

Grüße

Answer 1

Fehler wird ja durch das Restglied abgeschätzt.

Wenn in einer Umgebung U_r(1) die 4. Ableitung von f  vom Betrag her

≤ M ist, dann gilt für den Fehler  F 

F   ≤ M * r^5 / 5!   hier also

M * r^5 / 5!  = 0,1

M * r^5  = 12  wegen sinh(2,9)=9,06 ist für r<1,9 sicher M<9,1

und mit 9,1 * r^5  = 12  gilt

r^5 = 1,3

r=1,05

Also ist für die Umgebung von 1 mit r = 1,05 sicherlich der

Fehler kleiner als 0,1.

Vermutlich kann man das aber noch toppen.