Geben Sie n ∈ N so an, dass der Fehler |R_n(x)| = |f(x) − T_n(x)| für x ∈ [−0.1, 0.1] kleiner ist als 10^-4

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion
f : R\{−1} → R, x →\( \frac{1}{1+x} \)

(Aufgabe vorher beinhaltete die Bestimmung des n-ten Polynoms am Entwicklungspunkt x₀=0)

Geben Sie n ∈ N so an, dass der Fehler |R_n(x)| = |f(x) − T_n(x)| für x ∈ [−0.1, 0.1] kleiner ist als 10^-4

Problem/Ansatz:

Hierzu habe ich leider keinen Ansatz, bedanke mich für jede Hilfe

Comments

Was meinst Du mit keinen Ansatz? Die Aufgabe verlangt doch, \(|R_n(x)|\) abzuscätzen. Der Ansatz liegt doch auf der Hand. Schaue in Dein Skript, was da über \(R_n\) steht und berechne es für das konkrete Beispiel und dann....

Gruß

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Das habe ich jetzt gemacht und bin zu folgendem (dennoch verwirrendem) Ansatz gekommen:

R_n(x)=\( \frac{f^{n+1}*(ξ)}{(n+1)!} \)*(x-x₀)ⁿ⁺¹

f(x)=T_n(x)+R_n(x)

wegen k=0 muesste T_n(x)=(-1)ⁿ *n! gelten, dann einsetzen..

\( \frac{1}{1+x} \)=((-1)ⁿ *n!)+(\( \frac{(-1)^{n+1} *(n+1)!}{(n+1)!} \)*(x-0)ⁿ⁺¹)=((-1)ⁿ *n!)+((-1)ⁿ⁺¹ *xⁿ⁺¹)

Stimmt das soweit?

Wie mache ich am besten weiter wenn ich für das Intervall des Maximums von x keine 0 sondern -0,1 habe? und kein ξ mehr das ich in der Gleichung verwende?

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Hallo,

T_n bezeichnet hier das Taylor-Polynom bis zur Ordnung n einschließlich. Was Du dazu geschriebne hast ("Wegek=0 ..") verstehe ich nicht.

Due schreibst (nicht zum ersten Mal) \(f^{n+1} \ast (\xi)\). Ich weiß nicht, was Du da mit dem Stern meinst, richtig ist jedenfalls \(f^{(n+1)}(\xi)\). Und das ist

$$\frac{(-1)^n n!}{(1+\xi)^{n+2}}$$

(nach Deinem früheren Post) Jetzt musst Du nachschauen, was über \(\xi\) in Deinem Skript steht und dann mit dieser Info und der Aufgabenstellung \(|R_n(x)|\) abschätzen.

Gruß