Widerlege oder zeige Aussagen anhand von f(1,1)=f(1,-1)

Question

sei \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) eine lineare Abbildung sd.

(1)$$f(1,1)=f(1,-1)$$

Zeige oder widerlege:

1.) f ist surjektiv

2.) (0,1) \(\in\) Ker(f)

3.) dim Ker(f)=1

4.) Gibt es unendlichviele lineare Abbildungen, die die Bedingung (1) erfüllen?

Anhand von 4, denke ich, dass ich nicht so einfach auf eine eindeutige Abbildung schliessen kann. Ich weiss dann aber nicht wie ich vorgehen soll bei surjektiv.

Bei 2/3. dachte ich, dass ich \(f((1,1)-(1,-1))=f(0)=0\) nehmen soll. dann komme ich auf

f(0,2)=0 und somit wäre ja 2 widerlegt stimmt das?

und wie kann ich dann auf den ganzen Kern schliessen? Denn wenn ja f eine lineare Abbildung ist muss ja wenn ich (0,0) einsetze auch=0 rauskommen dann habe ich ja schon zwei Resultate für den Kern und somit kann die Dimension vom Kern nicht gleich 1 sein.?

Answer 1

ja \((0,2) \in Ker(f)\), aber daraus folgt aufgrund der Linearität von \(f\) auch, dass \( (0,1) \in Ker(f)\).

Außerdem gilt für jede lineare Abbildung \(f(0) = 0\). Dass der Nullvektor im Kern liegt hat aber überhaupt keinen Einfluss auf die Dimension. Die Frage ist doch, ob ein Vektor \((x,y)\) der kein Vielfaches von \((0,1)\) ist auch im Kern liegen könnte.

Gruß

Comments

Okay danke, dass verstehe ich aber wie zeige ich die surjektivität?

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:) Die Funktion kann nicht surjektiv sein. Welche Dimension hat das Bild maximal?

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das Bild hat maximal Dimension 2 kann ich nun drauf folgern weil kern dimension 1 hat dass es nicht surjektiv ist?

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Nein, wenn der Kern schon Dimension 1 besitzt kann das Bild nur maximal Dimension 1 besitzen. Somit kann die Abbildung nicht surjektiv sein.

Answer 2

Punkt 1)  Die Nullabbildung wäre ein Gegenbeispiel; die ist nicht surjektiv ( " onto " )

( Weiter gehende Überlegungen zeigen, dass es gar keine surjektiven f gibt; doch das war ja nicht gefragt. )

Punkt 2) Ohne ein ausdrückliches Gegenbeispiel zu konstruieren. Die besten Existenzbeweise sind nach wie vor die nicht konstruktiven. Gegeben sind ja zwei Basisvektoren ( 1 | 1 ) so wie ( 1 | - 1 ) Die sind ja nicht kollinear; oder du rechnest ihre Determinante aus. Dann habe ich doch das Recht, jedem dieser beiden Basisvektoren mein " Wunschbild " zuzuordnen; bezüglich dieser Basis wäre das sogar die Matrixdarstellung dieser Abbildung. Und die Spalten einer Matrix müssen doch nicht notwendig Null sein.

Frage 3) nein. Die Nullabbildung mit dim ( Kern ) = 2 ist hier die Ausnahmeabbildung.

Frage 4) Antwort ja. Gehe wieder aus von der Matrixdarstellung bezüglich der vorgegebenen Basis; ich sagte schon. Eine Umrechnung in die kanonische Basis wäre höchst hinderlich; um sieben Ecken gedacht. Dann setze ich

v  :=  f  ( 1 | 1 )  >  0      (  2a  )

Jetzt setze

g  ( 1 | 1 )  :=  a  v  ;  a  €  |R    (  2b  )

Da gibt es doch über-abzählbar viele a , wie ich das machen könnte.  

Comments

Ich will alles nie wieder tun; ich hab gepennt. Punkt 2 ; Yakyu hat natürlich Recht.