Zeige oder widerlege folgende Aussagen über direkte Summen.

Question

Aufgabe:

Zeige oder widerlege folgende Aussagen:

a.) Ist V ein Vektorraum mit Untervektorräumen U1, U2 und W, welche U1⊕W = U2⊕W erfüllen, so gilt bereits U1=U2.

b.) Es existieren zwei Untervektorräume U1 und U2 von ℝ³ mit U1 ≠ {0} und U2 ≠ {0}, sodass U1⊕U2=ℝ³ .

Problem/Ansatz:

Bei solchen Aufgaben, wo man teilweise mit Gegenbeispielen Aussagen zeigen / widerlegen kann, scheiter ich immer. Ideen für Lösungen oder Beispiele wären toll.

Answer 1

b) ist einfach: Betrachte

U1= { (x,0,0) |x ∈ℝ}  und  
U2= { (0,y,z)  |y,z ∈ℝ}

a)  Sei U1⊕W = U2⊕W  und x∈U1 .

Und sei w∈W. Dann ist z=x+w ∈  U1⊕W.

und wegen U1⊕W = U2⊕W gilt auch z∈ U2⊕W.

==>    z-w ∈ U2  (wegen dewr direkten Summe.)

also x∈U2 .

Entsprechend folgt aus x∈U2  auch x∈U1.

Also U1=U2.

Comments

Zu a) ein Gegenbeispiel:

Sei  \( U_1 := \langle\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \rangle , U_2 := \langle\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \rangle, W := \langle\begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}\rangle\).

Dann gilt \(  U_1 \oplus W = U_2 \oplus W = \mathbb{R}^2 \), aber offensichtlich \( U_1 \neq U_2 \)