Beweis für alle n: 1/k>log(n+1)

Question

Dies ist meine Aufgabe:

Leider habe ich bis jetzt nicht wirklich eine Idee zum Lösen der Aufgabe.

Ich weiß zwar was die Teleskopsumme aber nicht wie sie hier beim lösen helfen könnte.

Auch eine Lösung mithilfe des Riemann Integrals ist mir nicht ersichtlich.

Daher wäre ich über Tipps und Lösungsansätze bzw. Hilfe bei der Lösung sehr dankbar.

LG Denise

Answer 1

kannst du eventuell begründen dass

Σ (k = 1 bis n) (1/k) < ∫ (1 bis n + 1) (1/k)

Betrachte dazu mal das folgende Bild.

Answer 2

Bekanntlich gilt \(e^x>1+x\) für alle \(x>0\).
Insbesondere gilt \(e^\frac1k>1+\frac1k\) und damit \(\frac1k>\log\left(1+\frac1k\right)\) für alle \(k\in\mathbb N\). Es folgt$$\sum_{k=1}^n\frac1k>\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac1k\right)=\sum_{k=1 }^n\log\frac{k+1}k=\sum_{k=1}^n\left(\log(k+1)-\log k\right).$$

Answer 3

Hi,
es gilt $$ \log(n+1) = \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx $$ Weil $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$ die Obersumme zu dem Integral bzgl. der Zerlegung mit der Länge \( 1 \) ist,gilt $$ \log(n+1) = \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  $$