Vollständige Induktion: Zeigen, dass q = 2n/3 + n^2/4 - n^3/6 + n^4/4 eine natürliche Zahl ist

Question

Beweis mit vollständiger Induktion

Für jedes n ∈ ℕ ist,

q = 2n/3 + n²/4 - n³/6 + n⁴/4

auch eine natürliche Zahl.

Komme bei dieser Aufgabe einfach überhaupt nicht weiter und wäre dankbar für jegliche Hilfe. ;)

Hoffe es ist einigermaßen zu erkennen.

Answer 1

Fange mit dem Induktionsanfang an: setze für n die kleinste natürliche Zahl ein und rechne aus.

Für den Induktionsschritt, ersetze in dem Term das n durch (n+1). Dann bekommst du $$\frac{2(n+1)}{3} + \frac{(n+1)^2}{4} - \frac{(n+1)^3}{6} + \frac{(n+1)^4}{4}$$

Ausmultiplizieren und Bruchrechenregeln liefern $${{n^4}\over{4}}+{{5\,n^3}\over{6}}+{{5\,n^2}\over{4}}+{{5\,n}\over{3}}+1$$

Subtrahiere davon \(\frac{2n}{3} + \frac{n^2}{4} - \frac{n^3}{6} + \frac{n^4}{4}\) und schau was übrig bleibt.