Also so multipliziert man nicht aus. Beispiel:
$$ (X_1+X_2+X_3)^2 = X_1^2 + X_1X_2+X_1X_3+X_2X_1+X_2^2+X_2X_3+X_3X_1+X_2X_3+X_3^2 = X_1^2+X_2^2+X_3^2+2X_1X_2+2X_1X_3+2X_2X_3$$
Du merkst, es wird komplizierter um so größer \(n\) wird. Für sowas gibt es zur Vereinfachung der rechnerischen Handhabung zum Beispiel das von mir genannte Multinomialtheorem.
Was aber nun wichtig ist: Wenn du \((X_1+X_2+...+X_n)^4\) ausmultiplizierst, so kriegst du nur Terme(hier jetzt ohne Koeffizienten) der Form:
\(X_i X_j X_k X_l\), \(X_i^2X_jX_k\), \(X_i^2X_j^2\), \(X_i^3X_j\), \(X_i^4\) wobei unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Zufallsvariablen bedeuten. (Die Exponenten ergeben grade in ihrerer Summe jeweils \(4\).)
Wenn du nun 2) und 3) verwendest bei den Umformungen der entsprechenden Erwartungswerte, fallen viele von den Termen weg, so dass du nur noch, welche der Form
\(X_i^2X_j^2\) und \(X_i^4\) betrachte n musst. Daher die Summen in meiner letzten Umformung. Du musst dir dann nur noch klar machen wie viele es von diesen Termen gibt (sprich Koeeffizienten). Die Abzählung wie man \(i\) und \(j\) dabei jeweils kombinieren kann habe ich dir ja in der letzten Gleichung vorgegeben.
