Gegeben ist die mit 2016 Nullen geschriebene Zahl 101010 … 0101: Beweise, dass diese Zahl keine Primzahl ist.

Question

Gegeben ist die mit 2016 Nullen geschriebene Zahl 101010 … 0101, in der sich die Ziffern 1 und 0 abwechseln. Beweise, dass diese Zahl keine Primzahl ist.

Comments

Hallo Gast ;

wenn die Zahl mit 2016 Nullen geschrieben ist, hat sie auch 2016 Einsen - und ist zumindest durch 2016 und durch 2 teilbar.

Gruß !   geomane

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Soweit ich sehe kommt die 1 2018-mal vor. Quersumme = 2018 (teilbar durch 2)

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Die 1 kommt 2017 mal vor und die Quersumme ist kein geeignetes Teilbarkeitskriterium für die 2.

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Die Frage ist aus dem jahr 2015. Was also soll die Markierung?

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Nach der Bearbeitung 2018 sollte möglicherweise kontrolliert werden, ob die Fragestellung exakt stimmt. D.h. die fragliche Zahl sowohl mit 1 beginnt als auch mit 1 endet und ob 2015 wirklich eine Zahl mit 2016 Nullen untersucht werden sollte.

Wenn alles stimmt, könnte mich auch 2019 noch mit dieser Frage beschäftigen.

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ob die Fragestellung exakt stimmt
Natürlich stimmt sie.

ob 2015 wirklich eine Zahl mit 2016 Nullen untersucht werden sollte
Selbstverständlich. Und 2019 kann man ja eine mit 2020 Nullen untersuchen.

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wenn die Zahl mit 2016 Nullen geschrieben ist, hat sie auch 2016 Einsen - und ist zumindest durch 2016 und durch 2 teilbar.

Warum sollte davon etwas richtig sein?

Abgesehen davon: Diese Aufgabe gehört zu den Jahreswechselrätseln aus der Saison 2015/16 und die Frage ist mehr als drei Jahre alt.

Answer 1

Die Zahl (nennen wir sie mal n) hat 2016+2017 = 4033 Ziffern. Wenn wir

$$ 11n = 111\dotsm 111 $$

betrachten erhalten wir eine Zahl die 4034=4033+1 mal die Ziffer Eins enthält. Solche Zahlen nennt man Repunit. Es ist

$$ 11n = R_{4034} $$

Beispiele:

$$ R_1= 1, R_2 = 11, R_3 = 111, R_4=1111 $$

Für Repunits gilt der Satz

$$ a | b \implies R_a | R_b $$

Wir erhalten also mit \( 4034 = 2 \cdot 2017 \)

$$ R_2 | 11n \quad\text{und}\quad R_{2017} | 11n $$

Das erste ist klar: 11 teilt sicher 11n

Die zweite Aussage ist schon interessanter: \( 11n >> R_{2017} >> 11\). Damit lässt sich nun ein Teiler von n finden.

Answer 2

Wenn du diese Aufgabe aus dem Jahr 2015 unbedingt noch einmal aufwärmen willst:

Interessanter finde ich

99n=999....999.

Das ist auch eine Zahl mit 4034 Ziffern , und es ist der Vorgänger von 10⁴⁰³⁴.

Damit gilt 99n=(10²⁰¹⁷+1)(10²⁰¹⁷-1). Der erste Faktor ist durch 11 teilbar und der zweite Faktor durch 9. Also lässt sich n als Produkt der beiden  natürlichen Zahlen

\(\frac{10^{2017}+1}{11}\) und \(\frac{10^{2017}-1}{9}\) darstellen.

Da keiner der beiden Faktoren 1 ist, ist n also keine Primzahl.