Ungleichung mit vollständiger Induktion beweisen: Summe_(k=1)^n ≤ 5/4 .

Question

Ich habe die Ungleichung;

Bei dieser soll n∈ℕ , nachgewiesen werden. Mit der vollständigen Induktion.

Also hier von die voll. Induktion:

und Aussage folgern.

Könnte man die Schritte etwas erläutern, hatte das erst einmal?

Ich danke für die Hilfe.

Comments

Bist du sicher, dass in deinem 2. Bild oben n und nicht n+1 steht?

Answer 1

Hi,
Du sollst beweisen, dass gilt $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} \le \frac{5}{4}-\frac{1}{2n(n+1)} $$
Für \( n = 1 \) gilt das, linke und rechte Seite ergeben jeweils \( 1 \)
Nun ist zu zeigen das gilt
$$ \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^3} \le \frac{5}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}  $$ wegen der IV gilt
$$ \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^3} \le \frac{5}{4}-\frac{1}{2n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)^3}  $$
Der IS ist gezeigt wenn gilt $$  \frac{5}{4}-\frac{1}{2n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)^3} \le \frac{5}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)} $$ das ist äquivalent zu
$$ \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \le  \frac{1}{2n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)^3} \Leftrightarrow $$
$$ \frac{1}{n+2} \le \frac{1}{n}-\frac{2}{(n+1)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{n+2} \le \frac{n^2+1}{n(n+1)^2} \Leftrightarrow $$  $$ n^3+2n^2+n\le n^3+2n^2+n+2 \Leftrightarrow 0 \le 2  $$ was offensichtlich stimmt. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Weiter gilt
$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3} \le \lim_{n\to\infty} \left( \frac{5}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}  \right) = \frac{5}{4} $$

Answer 2

Also wenn du beweisen sollst:

Die Summe ist immer ≤ 5/4 dann ist das ja sicherlich

erfüllt, wenn sie sogar immer  ≤ 5/4 - 1/ (2n*(n+1)) ist.

Also zeigst du das erst mal für n=1. Da stimmt es.

wenn es also für irgendein n gilt, dann auch für n+1; denn

summe bis n+1 = summe bis n +   1 / (n+1)^3

≤ 5/4 - 1/ (2n*(n+1)) +     1 / (n+1)^3

und du muss nun zeigen, dass dieses    ≤  5/4  -   1/ (2(n+1)*(n+2) )   ist, also

5/4 - 1/ (2n*(n+1)) +     1 / (n+1)^3    ≤  5/4  -   1/ (2(n+1)*(n+2) )

dazu musst du etwas umformen

- 1/ (2n*(n+1)) +     1 / (n+1)^3    ≤    -   1/ (2(n+1)*(n+2) )       | * (n+1)

- 1/ (2n) +     1 / (n+1)^2    ≤    -   1/ (2*(n+2) )

1 / (n+1)^2    ≤   1/ (2n*)   -   1/ (2n+4) )

1 / (n+1)^2    ≤  ( 2n+4  -   2n)  / ((2n+4)*2n )

1 / (n+1)^2    ≤  4  / ((2n+4)*2n )

((2n+4)*2n )   ≤  4 *(n+1)^2

4n^2 + 8n  ≤  4n^2 + 8n + 4

und das stimmt für alle n aus N.