Linearität von Lösung von Differentialgleichung

Question

Gegeben ist die DGL  y ' ' + ay ' + by = 0. Dabei sind a und b Konstanten. Nun soll gezeigt werden, dass c*y+d*Y eine Lösung der DGL ist, wenn y und Y eine Lösung und c,d reelle Zahlen sind.

Kann mir jemand beim Ansatz helfen, ich habe mich absolut in meinen Gedanken verheddert und weiß nicht weiter. Aber eigentlich kann das ja nicht so schwer sein... :(

Answer 1

Zur Lösung hilft der Ansatz

y=e^{kx}

Leite das 2 Mal ab und setze in die Aufgabe ein.

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charakteristische Gleichung: k^2+ak +b=0

Lösung:

k_1 = ---> y_1 =C_1 *e^ x(....)

k_2 = --->y_2 =C_2 *e^ x(....)

y=y_1 +y_2

Bilde von dem Ergebnis die 1. und 2 Ableitung und setze diese in die Aufgabe ein.

Die linke Seite muß gleich der rechten Seite  sein.

Answer 2

Du hast nicht mal den Betreff richtig hingekriegt. Du sollst nicht zeigen, dass die Lösungen linear sind (was schlicht nicht der Fall ist), sondern dass die Menge aller Lösungen ein linearer Raum ist, sprich: Mit zwei Lösungen \(y\) und \(Y\) ist auch jede Linearkombination \(ay+bY\) eine Lösung. Das verifiziert man durch schlichtes Einsetzen.