Quotientenabbildung unter Einschränkung injektiv / surjektiv / bijektiv

Question

Ich bräuchte HIlfe bei dieser Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und U;W Untervektorräume von V sowie

π:  V → V/W    die Quotientenabbildung

mit der Einschränkung   g: U → V/W,   u↦ u + W .

Zu Zeigen:
a) g ist genau dann injektiv, wenn U ∩ W = {0} gilt.

b) g ist genau dann surjektiv, wenn U +W = V gilt.

c) g ist genau dann bijektiv, wenn U ⊕ W = V gilt.

Danke

Answer 1

mit der Einschränkung   g: U → V/W,   u↦ u + W .

Zu Zeigen:
a) g ist genau dann injektiv, wenn U ∩ W = {0} gilt.

Sei g injektiv und seien u und v aus U mit  f(u) = f(v)

also   u+W = v+W  dann gibt  es w1 und w2 aus W

mit  u + w1 =  v + w2 also u - v  =  w1 - w2

und damit ist u-v sowohl in U (Differenz zweier El von U)

also auch in W.   Damit u=v gilt, darf also das einzige gem

Element von U und W nur 0 sein.

Sei umgekehrt U ∩ W = {0} und  u und v aus U mit  f(u) = f(v)

also   u+W = v+W  dann gibt  es w1 und w2 aus W

mit  u + w1 =  v + w2 also u - v  =  w1 - w2

und damit ist u-v sowohl in U (Differenz zweier El von U)

also auch in W.  wegen U ∩ W = {0}also u-v=0
also u=v und damit f injektiv.

b so ähnlich.

Comments

c) ist nahezu trivial:
g bijektiv
⇔ g injektiv und g surjektiv
⇔ U ∩ W = {0}  und U +W = V
⇔    U ⊕ W = V