Zeige (U1 ∩ U2) +(U1 ∩ U3) ⊆ U1 ∩ (U2+U3)

Question

Kann uns bitte wer bei folgendem Beispiel helfen bzw. Tipps geben wie man es bearbeiten sollte.
Angabe:Sei V ein Vektorraum und U_i⊆V Unterräume. Zeige (U1 ∩ U2) +(U1 ∩ U3) ⊆ U1 ∩ (U2+U3)
Vielen lieben Dank im voraus!

Answer 1

Zeige (U1 ∩ U2) +(U1 ∩ U3) ⊆ U1 ∩ (U2+U3).

Sei x aus    (U1 ∩ U2) +(U1 ∩ U3)

dann gibt es a aus  U1 ∩ U2   und  b aus U1 ∩ U3  
 mit    x = a +b

Da aber a und b beide aus U1 sind, ist a+b auch in U1,     #

da U1 ein Unterraum ist.

Da a aus U2 und b aus U3 ist a+b aus U2 + U3.      ##

# und ## zusammen bedeuten aber gerade

a+b aus    U1 ∩ (U2+U3)   und wegen x = a+b also

x aus U1 ∩ (U2+U3).   q.e.d.

Comments

Ein kurze Frage noch.

Würde dir ein Beispiel einfallen in dem keine Gleichheit gilt? Wir drehen uns nämlich dabei im Kreis.

Es wäre nett wenn du uns einen kleinen Tipp geben kannst, damit wir darauf kommen können. Danke

---

Beispiel in R^2:

U1 = alle Vielfachen von (1;1)

U2 = alle Vielfachen von (0;1)

U3 = alle Vielfachen von (1;0)

Dann ist U2+U3 = R^2  also geschnitten mit U1 ist es U1.

Aber die Schnitte von U1 mit U2 und von U1 mit U3 enthalten

jeweils nur die 0, also deren Summe auch.

---

Danke. So leicht hatte ich es mir nicht vorgestellt.

Hab ohne Ende rumprobiert. Danke