Folge mit Summenzeichen, Cauchy-Folge beweisen

Question

Schönen abend!
Folgendes kleines Problemchen beschäftigt mich..

Sie Folge $$ { ({ x }_{ n }) }_{ n\epsilon N } $$ mit $$ { x }_{ n }\quad =\quad \sum _{ j=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 } }  } $$

Zeige, dass $$ { ({ x }_{ n }) }_{ n\epsilon N }  $$ eine Cauchy-Folge ist.

Ich hab jetzt schon viele Stunden mit Wikipedia, Foren und Youtube verbracht, aber irgendwie hats noch nicht klick gemacht..

Als Hinweis ist noch vermerkt: Verwenden Sie hierzu 
$$ \frac { 1 }{ { i }^{ 2 } } \quad <\quad \frac { 1 }{ i(i-1) } \quad =\quad \frac { 1 }{ i-1 } \quad -\quad \frac { 1 }{ i } \quad für\quad i>1 $$

Vielen :)

Answer 1

Sei eps > 0.  Für hinreichend große n,m muss dann ja gelten 

| xn - xm | < eps   Sei etwa n<m dann ist das ja

summe i=n bis m über 1/i^2

mit deinem Tipp ist das kleiner als

summe i=n bis m über 1/(i-1) - 1/i 

= summe i=n bis m über 1/(i-1)   -  summe i=n bis m über  1/i 

Da sind ja die meisten Summanden gleich und heben sich auf, also

= 1/(n-1)  -  1/m   = (m-n+1)/ (( n-1)*m) und wegen n≥1 gilt

< m / ((n-1)*m)   = 1/ ( n-1)

Und damit das kleiner als eps wird, muss nur n > 1+ 1/eps sein.

Und das gibt es nach Archimedes.