Weise nach dass Folge (an) eine Couchyfolge ist

Question

Hallo,

man soll nachweisen, dass Folge an = \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{((1/k)-2)^{k}/3^{k}} \) für n∈N eine Cauchyfolge ist.

Also:

Ι am - an Ι = Ι \( \sum\limits_{k=1}^{\{m}{((1/k)-2)^{k}/3^{k}} \) - \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{((1/k)-2)^{k}/3^{k}} \) Ι

= Ι \( \sum\limits_{k=n+1}^{\{m}{((1/k)-2)^{k}/3^{k}} \) Ι

Ich überspringe paar Schritte

≤ \( \sum\limits_{k=n+1}^{\{m}{(2/3)^{k}} \)

= \( \sum\limits_{k=0}^{\{m}{(2/3)^{k}} \) - \( \sum\limits_{k=0}^{\{n}{(2/3)^{k}} \)

Jetzt kommen die Schritte, die ich nicht verstehe

= \( 1-(2/3)^{m+1}/(1-(2/3)) \) - \( 1-(2/3)^{n+1}/(1-(2/3)) \)

= 3(\( (2/3)^{n+1} \) - \( (2/3)^{m+1} \))

= 3\( (2/3)^{n+1} \) (1 - \( (2/3)^{m-n} \)

Kann mir jemand die letzten 3 Schritte erklären ?

Ich verstehe nicht, wie man von \( \sum\limits_{k=0}^{\{m}{(2/3)^{k}} \) - \( \sum\limits_{k=0}^{\{n}{(2/3)^{k}} \) auf

 \( 1-(2/3)^{m+1}/(1-(2/3)) \) - \( 1-(2/3)^{n+1}/(1-(2/3)) \) kommt, warum bei 3(\( (2/3)^{n+1} \) - \( (2/3)^{m+1} \)) eine drei davor steht und die Exponenten vertauscht wurden, müsste es nicht 3(\( (2/3)^{m+1} \) - \( (2/3)^{n+1} \)) heißen ? Und warum steht im letzten Schritt im Exponenten ein (m-n) ?

Wenn mir jemand die drei Fragen beantworten könnte, wäre ich dankbar.

Answer 1

Hallo,

Du brauchst nur die Information für eine geometrische Summe. Um es besser zu überschauen, sei \(q=2/3\), mit \(m>n\):

$$\sum_{k=0}^mq^k-\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{m+1}}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{q^{n+1}-q^{m+1}}{1-q}$$

$$=\frac{q^{n+1}}{1-q}(1-q^{m-n})$$

Wenn Du jetzt noch berachtest:

$$\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$$

bist Du am Ziel

Gruß

Comments

Du bist einfach der Beste !!!

Echt, vielen Dank.

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Du bist einfach der Beste !!!

Wahrscheinlich verwechselst Du mich mit dem Mathepeter von youtube

Gruß vom MatheLoungeMathePeter

Answer 2

Man hat jeweils die Summenformel für die geometrische Reihe verwendet.