Beweis, dass (an):= n/(n+1) eine Cauchy-Folge ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es sich bei (a_n):= n/(n+1) um eine Cauchy-Folge handelt.

Problem/Ansatz:

Ich bin folgendermaßen vorgegangen (so hatten wir es in der Vorlesung; bei einer anderen Folge habe ich es so auch hinbekommen):

sei ε > 0 und n₀ so gewählt, dass n₀ > 1/ε. Außerdem sei n ≥ m ≥ n_0. 

| a_m - a_n |

= | m/(m+1) - n/(n+1) |

= | (m*(n+1) - n*(m+1)) / (m+1)*(n+1) |

= | (mn+m-nm-n) / (m+1)*(n+1) |

≤ (mn+m) / (m+1)*(n+1)

= m*(n+1) / (m+1)*(n+1)

= m/(m+1)

und jetzt hänge ich. Eigentlich müsste es (so wie wir es sonst gemacht haben) jetzt m/(m+1) ≤ 1/n_{0 und} somit ≤ ε sein.

Aber das stimmt hier doch nicht?

Was übersehe ich bzw. was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

| a_{m} - a_{n} |

= | m/(m+1) - n/(n+1) |

= | 1/(n+1) - 1/(m+1) |

= ...

Vielleicht hilft das.

Comments

Damit habe ich es hinbekommen, vielen Dank!

Allerdings stehe ich gerade trotzdem noch etwas auf dem Schlauch.

Warum gilt m/(m+1) - n/(n+1) = 1/(n+1) - 1/(m+1)?

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Es ist m=(m+1-1) usw.