Zeige: rekursive Folge ist Cauchy Folge. a_(n+1): = 1 / (2 + a_(n)), a_(1): = 0

Question

Hallo allerseits :)

die Folge geht so:

a_n+1 = 1 / (2 + a_n)

a₁ = 0

a₂ = 1/2

a₃ = 2/5

a₄ = 5/12

usw.

mir ist schon aufgefallen, dass der Nenner des vorherigen Folgegliedes zum Zähler des darauffolgenden wird. Ferner heißt diese Folge 1, 2, 5, 12, 29, 70 ... wohl Pell-Folge. Ich hatte erhofft mir dadurch eine explizite Vorschrift zu basteln, bin aber nicht zum Erfolg gekommen.
für cauchy folge müsste man zeigen:

| 1 / (2+a_n-1) - 1 / (2+a_m-1) | < ε  Ich weiß aber nicht wie ich das abschätzen kann.

EDIT: (Kopie aus Kommentar) ps. meine Vermutung ist, dass die Folge gegen 0,4 konvergiert, wobei sie nicht monoton ist.

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ps. meine Vermutung ist, dass die Folge gegen 0,4 konvergiert, wobei sie nicht monoton ist.

Answer 1

Wenn \(a_n\to a\), dann folgt aus der Rekursionsgleichung durch Grenzuebergang \(a=1/(2+a)\). Da musst Du nicht raten.

Dass \((a_n)\) eine Cauchyfolge ist, kannst Du so zeigen:
$$(1)\quad|a_{n+1}-a_n|\le\frac{1}{4}|a_n-a_{n-1}|\le\ldots\le\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}|a_2-a_1|$$ $$(2)\quad|a_{n+p}-a_n|\le|a_{n+p}-a_{n+p-1}|+|a_{n+p-1}-a_{n+p-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\le\ldots$$ Bei (2) musst Du so fortsetzen, dass am Ende eine Nullfolge unabhaengig von \(p\) steht.

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danke für deine Hinweise!

was ich noch nicht verstehe ist in deinem ersten Lösungsvorschlag die erste Ungleichung. Wo kommt das 1/4 auf einmal her?

LG

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Was anderes als die Rekursionvorschrift ist ueber die Folge ja nicht bekannt. (1) wird also zwingend von der kommen. $$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2+a_n}-\frac{1}{2+a_{n-1}}$$ Mach mal was draus.

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hey, danke für deine hilfe, tut mir leid dass ich dafür so lange brauche. ich habe jetzt mal für a_n a_n-1 eingesetzt und stehe hier:

$$ \frac { 2+{ a }_{ n-1 } }{ 5+2{ a }_{ n-1 } } -\frac { 1 }{ 2+{ a }_{ n-1 } } $$

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diesen ausdruck habe ich jetzt nach unten abgeschätzt und bin bei

$$ \frac { { a }_{ n-1 } }{ 4+2{ a }_{ n-1 } }  $$

aber ich hab das gefühl auf dem holzweg zu sein :(

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Ich hab keine Ahnung, was Du da gemacht hast. Ich sehe nur Terme ohne Zusammenhang.

Mein Vorschlag war, eine (Un-)Gleichunskette, die mit $$|a_{n+1}-a_n|=\left|\frac{1}{2+a_n}-\frac{1}{2+a_{n-1}}\right|=\ldots$$ (ich hab da die Rekursionsvorschrift benutzt) anfaengt, zu entwickeln. Enden sollte sie dann erstmal mit $$\ldots\le\frac{1}{4}|a_n-a_{n-1}|.$$ In den Zwischenschritten muss man nur Bruchrechnung koennen und eine einfache Abschaetzung machen.

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also mein ansatz war, um die nenner gleich zu machen, im ersten bruch das a_n als a_n-1 darzustellen. so habe ich mir das gedacht:

$$ \frac { 1 }{ 2+{ a }_{ n } } =\frac { 1 }{ 2+{ \frac { 1 }{ 2+{ a }_{ n-1 } }  } } =\quad \frac { 2+{ a }_{ n-1 } }{ 5+2{ a }_{ n-1 } } ,\quad \frac { 2+{ a }_{ n-1 } }{ 5+2{ a }_{ n-1 } } -\frac { 1 }{ 2+{ a }_{ n-1 } } ... $$

mir fällt es schwer mit diesen a_n umzugehen.

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also mein ansatz war, um die nenner gleich zu machen, im ersten bruch das a_n als a_n-1 darzustellen.

Es stehen ja bereits die Glieder mit den richtigen Indizes da. Da kannst Du unmoeglich noch mal die Rekursionsgleichung verwenden. Die ist abgehakt und wird nicht mehr gebraucht. Es geht wie gesagt weiter mit Bruchrechnen und Abschaetzen.

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okay, das leuchtet ein. dann hab ich es jetzt mal weiter mit bruchrechnung probiert:

$$ \frac { 1 }{ 2+{ a }_{ n } } -\frac { 1 }{ 2+{ a }_{ n-1 } } =\frac { 2+{ a }_{ n-1 } }{ (2+{ a }_{ n })(2+{ a }_{ n-1 }) } -\frac { 2+{ a }_{ n } }{ (2+{ a }_{ n-1 })(2+{ a }_{ n }) } =\frac { { a }_{ n-1 }-{ a }_{ n } }{ (2+{ a }_{ n-1 })(2+{ a }_{ n }) } $$

bin ich jetzt auf dem richtigen weg?

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ich hab heute nacht von der aufgabe geträumt und jemand hat mir die lösung gegeben, aber leider kann ich mich nicht mehr dran erinnern! :)

ich hab jetzt weiter überlegt und könnte den Nenner ausmultiplizieren und dann das ganze a_n Zeug weglassen. dann stünde dort:

$$ \frac { { a }_{ n-1 }-{ a }_{ n } }{ (2+{ a }_{ n-1 })(2+{ a }_{ n }) } \le \frac { { a }_{ n-1 }-{ a }_{ n } }{ 4 } $$

das ist aber eine recht gewagte abschätzung oder? ich hab gar kein gefühl dafür, wie viel man abschätzen darf

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Wenn Du noch Betragsstriche dranmachst, stimmts. Bei Bruechen mit positivem Zaehler und Nenner gilt das simple Motto: Wenn man durch weniger teilt, kommt mehr raus.

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okay vielen dank bis hierher. ich stehe jetzt vor der Frage, wie du die weitere Umformung gestaltet hast. Es sieht für mich aus wie eine Teleskopsumme. Das hatten wir kurz in der Vorlesung, aber ich kenne mich damit noch nicht ganz aus. Bei einer ähnlichen Aufgabe aus der Vorlesung heißt es die Ungleichung ergebe sich durch n-malige Anwendung der Gleichung. Das kann ich mir jedoch nicht erklären. Weiter frage ich mich, wie man a₀ bestimmen kann, dass du jetzt in deinem Ergebnis stehen hast. Den ersten Wert der Folge, den ich kenne, ist a₁.

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Gut, bei (1) bin ich einen Schritt zu weit gegangen, es hoert ja mit \(a_1\) auf. Hab's korrigiert.

(2) ist tatsaechlich bloss Teleskopsumme + Dreiecksungleichung. Und da sollst Du jetzt natuerlich (1) auf die Summanden anwenden und dann zum Abschluss kommen.

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okay vielen dank. Meine letzte unklarheit ist noch, was du genau in (1) gemacht hast, wo (...) steht. warum gilt die letzte ungleichung?

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bzw. wie komme ich von |a_n - a_n-1| nach |a₂ - a₁|?

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\(|a_5-a_4|\le\frac{1}{4}|a_4-a_3|\le\left(\frac{1}{4}\right)^2|a_3-a_2|\le\left(\frac{1}{4}\right)^3|a_2-a_1|\)

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oke nochmals danke für deine Hilfe, ich glaube ich habs jetzt langsam gerafft :)