Folgende Aufgabe:
Sei \( \left(a_{n}\right) \) rekursiv definiert durch \( a_{n+1}=1+\frac{1}{a_{n}} \) für \( n \in \mathbb{N} \) und \( a_{1}=2 \).
Es gilt \( \frac{3}{2} \leq a_{n} \leq 2 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
Zeigen Sie:
Für \( \left(a_{n}\right) \) gilt \( \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq q\left|a_{n}-a_{n-1}\right| \) für ein \( q \in(0,1) \) und alle \( n \geq 2 \).
Hat irgendwer einen Ansatz?
