beschränkt cauchy folge beweisen

Question

ich muss folgendes beweisen:

Sei a_n eine Cauchy Folge. Zeigen Sie das a_n beschränkt ist.

Leider hab ich da keine Ahnung, was ich machen muss.

Answer 1

Sei a_n eine Cauchy Folge. Zeigen Sie, dass a_n beschränkt ist.

Was heißt denn beschränkt und was weißt du über eine Cauchyfolge?

Für eine Cauchyfolge gibt es zu jedem e>0 einen Index N, sodass

$$|a_n - a_m| < \varepsilon \forall n,m \ge N$$

ist. Insbesondere gibt es also ein N, sodass

$$ |a_n - a_N| < 1$$

für alle n >= N ist. Dann gilt

$$|a_n| = |a_n-a_N+a_N| \le |a_n-a_N| + |a_N| \le 1 + |a_N|$$

für alle n >= N. Somit gilt

$$ |a_n| \le M\quad\forall n\in \mathbb N$$

mit

$$ M = \max\{|a_1|,\dots |a_N|, 1+|a_N|\}.$$

Comments

Müsste nicht \( M = 1 + |a_N| \) gewählt werden?

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Nicht notwendigerweise, es kann ja Folgenglieder zwischen a1 und aN geben, für die |a_j| > 1+|a_N| ist. Beispiel:

$$ (a_n) = (2,0,0,...).$$

Da ist für N=2

$$ |a_n-a_m| = 0 < 1$$

und a_N = 0, d.h.

$$ |a_1| = 2 > 1+|a_N| = 1.$$

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Achso, das stimmt.