Cauchy-Folgen und Beschränktheit in Kombination mit Funktionen

Question

Aufgabe:

Sei D ⊂ ℝ und f : D → ℝ gleichmäßig stetig.
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie: Ist (xn) eine Cauchy-Folge in D, dann ist auch (f(xn)) eine
Cauchy-Folge.
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie: Ist D beschränkt, dann ist auch f beschränkt.
(c) (1 Punkt) Finden Sie Beispiele von Funktionen, die lediglich stetig sind und für die
die Aussagen von (a) und (b) falsch sind.

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe bräuchte ich mal Hilfe. Hab echt keinen Plan.

Comments

Wie habt Ihr denn gleichmäßige Stetigkeit definiert?

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Wir haben gleichmäßige Stetigkeit wie folgt definiert:

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈D: |x-y| < δ   =>   |f(x)-f(y)| < ε

Das da oben soll kein größer-gleich, sondern ein Folgepfeil sein.

Falls es irgenwie hilft: eine Aufgabe vor dieser hier ging es um die Definition von Lipschitz-Stetigkeit. Weiß nicht, ob man die hier verwenden kann/muss, aber falls ja: so war sie definiert:

∀x,y∈D ∃L≥0:   |f(x)-f(y)| ≤ L*|x-y|

Answer 1

Dann sei also \((x_n)\) eine Cauchy-Folge in D. Wir wollen zeigen, dass \((f(x_n))\) eine Cauchy-Folge in \(\R\) ist.

Sei also \(\epsilon>0\) gegeben, dazu wählen wir \(\delta>0\) gemäß der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit und zu diesem \(\delta\) ein \(N \in \N\) mit

$$\forall n,m >N: \quad |x_n-x_m| < \delta \text{  (Definition von Cauchy-Folge)}$$

Aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit folgt

$$\forall n,m >N: \quad |f(x_n)-f(x_m)| < \epsilon$$

Also ist \((f(x_n))\) eine Cauchy-Folge.