Äste der Hyperbel Näherung an Asymptoten

Question

Zeige, dass die Äste der Hyperbel den Asymptoten beliebig nahe kommen, ohne diese jemals zu erreichen. Es genügt, wenn sich dabei auf die 1. Hauptlage und den 1. Quadranten beschränkt wird.

Answer 1

Gleichung   x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1     Asymptote  y = ± b/a * x

As. einsetzen:      x^2 / a^2 - ((b*x)/a)^2 / b^2 = 1 

⇔         x^2 / a^2 - x^2 / a^2 = 1        ⇔    0 = 1 immer falsch,
                   also schneiden sie sich nie.

Selbst wenn die Punkte senkrecht übereinander liegen, kommen sie sich beliebig nah; denn

(x;y1) auf Hyperbel und (x;y2) auf Asympt.  gibt   ( für 1. Quadranten)

(x ; wurzel( b^2*( x^2/a^2 - 1 ) )   und auf  Asym.   (  x ;  | b/a | * x  ) 

Differenz der y- Werte ist  d(x) = wurzel( b^2*( x^2/a^2 - 1  )-   | b/a | * x 

das als Bruch mit Nenner 1 interpretiert und mit ( wurzel( b^2*( x^2/a^2 - 1   )  +   | b/a | * x )

erweitert gibt nach Anwend. der 3. binomi. Fo.

d(x)  =   b^2*( x^2/a^2 - 1  )  -   (| b/a | * x )^2   /    ( wurzel( b^2*( x^2/a^2 - 1   )  +   | b/a | * x )

=  (   (bx/a)^2    -  b^2   -     (bx/a)^2   ) /    ( wurzel( b^2*( x^2/a^2 - 1   )  +   | b/a | * x )

= -b^2  /    ( wurzel( b^2*( x^2/a^2 - 1   )  +   | b/a | * x )

Für x gegen unendlich geht der Nenner gegen unendlich aber der Zähler ist konstant,

also geht der ganze Bruch gegen 0.

⇒ Die Punkte kommen sich beliebig nahe.