Limes inferior und Limes superior

Question

Hallo , ich habe folgende Aufgabenstellung (Bild)

Ich habe mir eine Tabelle erstellt und die ersten Folgenglieder aufgeschrieben.Die Menge der Häufungswerte H⟨-2,0,2⟩ sollte so aussehen.Lim inf würde -2 sein und Lim sup 2.

Da dies lediglich eine Vermutung und kein Beweis ist , habe ich mir überlegt zu zeigen

i) -2,0,2 sind Häufungswerte der Folge an.

ii) H hat nur 3 Häfungswerte nämlich -2,0,2.

aber wie zeigt man das?

Comments

edit: zu 1) habe ich nun schon herausgefunden. nämlich man findet konvergente Teilfolgen die gegen die genannten Häufungswerte Konvergieren.

verbleibt noch zu zeigen 2 ist lim sup und -2 lim inf :) jedoch wie?

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Wenn die 3 Teilfolgen, die du hast, zusammen alle Folgenglieder beinhalten, dann kann es keine weiteren Häufungswerte geben.

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Ahhhhh! das erklärt einiges  bzw. begründet das einfach was ich zeigen wollte.

Die Teilfolgen bei n=4k , n=4k-2, n=2k-1 ,

wobei n=2k-1 alle ungeraden Zahlen von 1 beginnend abdeckt 1,3,5,7,9,11....

n=4k deckt alle geraden Zahlen ab die ein Vf von 4 sind 4,8,12,16...

und n=4k-2 . Deckt dann 2,6,10,14...

Vereinigt man diese 3 Teilfolgen würde es wieder die Folge an ergeben.

Reicht dies als Begründung aus?

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Das kann ich dir nicht sagen, bin ja nicht der Korrektor und weiß nicht was ihr alles schon in der Vorlesung/Übung bewiesen habt :).

Du könntest im Zweifel natürlich zur eigenen Sicherheit begründen, warum es keine andere Teilfolge mit einem weiteren Häufungswert geben kann.

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Naja die Übung ist klassisch der Vo immer Voraus.Sozusagen bereit ich mich immer auf das Schlimmste vor ^^
Wie würde diese Begründung lauten? Ungefähr so wie du vorher gesagt hast : "Wenn die 3 Teilfolgen, die du hast, zusammen alle Folgenglieder beinhalten, dann kann es keine weiteren Häufungswerte geben." ?

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Nee das ist das was du begründen solltest :).

Gäbe es eine weitere Teilfolge, die gegen einen weiteren Häufungswert konvergiert, so ergibt sich ein Widerspruch dadurch, dass diese Teilfolge eine Teilfolge besitzt, die gleichzeitig auch eine Teilfolge einer der drei Teilfolgen ist, welche die ganze Folge beschreiben.

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Ah oooook! Ich stell mir das weiters so vor: Wenn es noch einen weiteren Hw gäbe der ungleich den anderen Hw ist. Dann kann diese TF die gegen diesen neuen Hw konvergiert nicht TF von den anderen 3 Teilfolgen sein weil deren GW schon bewiesen wurde und wir wissen wenn ein Gw existiert ist er eindeutig. Somit würde die TF dann gegen einen der Werte die schon bewiesen wurden konvergieren . was ein widerspruch zu der Annahme ist das diese TF einen neuen Häufungswert aufweist ,gegen den sie konvergiert.( Da der Gw bei den 3 TF eindeutig ist und schon festgelegt ist , somit muss die neue TF auch gegen einen dieser HW konvergieren, da eine TF einer konvergenten Folge immer gegen denselben Gw der ursprünglichen Folge konvergiert.)

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Geht alles in die richtige Richtung, allerdings ist das so nicht hundert prozentig schlüssig, da die TF, die gegen den "neuen" Häufungswert konvergiert, keine Teilfolge der 3 bekannten Teilfolgen sein muss.

Zur Vereinfachung: Bekannte Teilfolgen nennen wir einfach mal Horst, Kevin und Jonas.

Neue Teilfolge mit "neuem" Häufungswert nennen wir Albert.

Da Horst, Kevin und Jonas die ganze Folge beschreiben, muss Albert selber eine Teilfolge besitzen (nennen wir sie Hermann), die auch eine Teilfolge von Horst, Kevin oder Jonas ist. Da diese 3 ja konvergieren, konvergiert auch Hermann gegen einen dieser Werte. Da Albert konvergiert, und Hermann eine Teilfolge von Albert ist muss auch Albert gegen einer dieser Werte konvergieren. Somit kann Albert nicht gegen einen "neuen" Häufungswert konvergieren ;).

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Das Exakte begründen bzw. formulieren muss ich noch ein bisschen üben ^^
Bzw. sag ichs nochmal in meinen Worten. :D
Eine neue Teilfolge die eine Teilfolge hat die Teilfolge einer der 3 Teilfolgen ist der Ursprünglichen Folge.
Weil die neue Teilfolge konvergiert  konvergiert dessen Teilfolge auch , aber da diese Teilfolge einer der 3 anderen Teilfolgen ist konvergiert sie gegen einen von deren Gw. was nicht der Gw von der neuen Teilfolge ist und somit ein widerspruch zu einem neuen HW.

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Gut, dass passt nun :). (Ein gutes Beispiel dafür, warum Mathematiker Notation verwenden)

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Ok cool :)

Mir ist noch eingefallen , wie ist es möglich das Albert nicht Teilfolge von Horst, Kevin und Jonas ist wenn diese die Ganze Folge abdecken? Und erste eine Teilfolge von Albert nämlich Herman Teilfolge Von Horst, Kevin und Jonas ist?Ich kann mir das schwer vorstellen.

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Wenn Albert Folgenglieder besitzt die bei Horst auftauchen und welche die bei Kevin auftauchen (Horst und Kevin haben ja keine gemeinsamen Folgenglieder), dann kann Albert ja keine Teilfolge von Horst bzw. Kevin sein.

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Ahhhh! so der Schnitt ist Leer ! Dann lässt sich also der Herman finden der in Horst, Kevin oder Jonas steckt .^^

Wie das doch klingt :DDD

Answer 1

Wenn du alle Häufungswerte hast, ist doch alles klar:

lim sup ist der größte und lim inf ist der kleinste.

Comments

Ich meine das so ich habe 3 Hws vermutet und bewiesen das diese auch Hws sind. Jedoch ist unser Übungsleiter genau und verlangt zu zeigen das diese 3 Hws die einzigen sind bzw. das nicht noch weitere Hws existieren die größer oder kleiner sind als die gennanten. Sodass man sicher sagen kann das diese auch lim inf und lim sup sind.

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Klar, musst natürlich zeigen, dass es keine weiteren gibt, oder etwa das - wenn s

der größte ist - es für jedes eps > 0 oberhalb von s+eps höchstens endlich viele Folgenglieder gibt.