ich habe einfach keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll :/
Aufgabe:
Sei g:[0,1] → [0,1] eine stetige Funktion.
Ich soll zeigen, dass es sein ξ∈[0,1] gibt mit g(ξ)=ξ
Es hat etwas mit dem Zwischenwertsatz zu tun.
Betrachte mal f(x) = g(x) - x Die ist dann auch stetig.
Berechne g(0) und g(1) .
Dann siehst du es.
g(0)=f(0)-0 = f(0)
g(1) = f(1)-1
Nun sind aber f(0) und f(1) aus [0;1] also g(1) ≤ 0 und g(0) ≥ 0
Dann sind sie entweder beide gleich 0, also etwa g(0) = f(0) = 0 also ist 0 das gesuchte ξ
oder g(1) = f(1) - 1 = 0 also f(1) = 1 also 1 das gesuchte ξ
oder (Zwischenwertsatz) Es gibt ein ξ aus ]0;1[ mit g(ξ ) = 0, dann ist dieses
das gesuchte ξ.
Tut mir leid :/ ich verstehe zwar deine Rechnung aber was hat das mit dem zwischenwertsatz zu tun?
oder (Zwischenwertsatz)
Es gibt ein ξ aus ]0;1[ mit g(ξ ) = 0; denn dann ist ja
g(0) < 0 und g(1) >0 also gibt es nach dem
ZWISCHENWERTSATZ dazwischen (also zwischen 0 und 1) ein ξ
mit g(ξ ) = 0 also g(ξ ) = f( ξ ) - ξ = 0
also f( ξ ) - ξ
Dann ist dieses das gesuchte ξ.
Wird's klarer ?
Ja, so langsam aber sicher, wird es klarer, danke :D
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
