Binomialverteilung von X+Y

Question

X habe die \(Bin(n_1,p)\) - Verteilung, Y habe die \(Bin(n_2,p)\)-Verteilung. X uns Y sind unabhängig voneinander.

Zeige, dass X+Y eine \(Bin(n_1+n_2,p)\)-Verteilung hat.

Mein Ansatz

$$ P[X+Y=a] = \sum_{i} P[X=a-i]*P[Y=i] $$

$$=\sum_{i}  {{n_1}\choose{a-i}}*p^{a-i}(1-p)^{n_1-a+i} *  {{n_2}\choose{i}} p^i*q^{n_2-i}$$

$$==\sum_{i}  {{n_1}\choose{a-i}}*{{n_2}\choose{i}} *p^a*(1-p)^{n_1+n_2-a}$$

Jetzt komme ich nicht mehr weiter kann mir jemand da weiterhelfen?

$$

 $${10ch∞se3}$$$ 

Answer 1

alle Faktoren die nicht von \(i\) abhängig sind kannst du vor die Summe ziehen. Des Weiteren gilt:

$$ \sum_{i=0}^a \binom{n_1}{a-i}\binom{n_2}{i} = \binom{n_1+n_2}{a} $$

was du eventuell noch zeigen müsstest.

Gruß

Comments

Mein Problem ist eben, dass ich genau das nicht weiss wie ich es zeigen soll, hast du mir dazu einen Tipp?

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Das geht denke ich zwar über vollständige Induktion, aber ich persönlich finde den Beweis über Koeffizientenvergleich und binomischen Lehrsatz angenehmer (dafür braucht man aber schon bisschen Hintergrundwissen über Polynome).

Mein Tipp an dich: Das was ich da oben geschrieben habe nennt sich Vandermonde(sche) Identität, einen Beweis wirst du sicherlich mit wenig Aufwand finden :).