Summen berechnen / konvergenz

Question

Ich habe die folgenden 3 Aufgaben zu lösen:

Bei der 1 weiß ich, dass man die Summen irgendwie berechnen kann, ich finde aber nirgends eine Formel dafür.

Bei der 2:

Soll ich hier einfach den Grenzwert zeigen oder geht das auch anders?

Bei der 3 bin ich ratlos

Comments

1a+c  sind geometrische Reihen. Bei  1b  faktorisiere den Nenner nach der dritten binomischen Formel und stelle fest, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt. Wurde hier bereits mehrfach gelöst.

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das mit der geometrischen reihe macht sinn, aber ich finde auch hier keine Formel zur berechnung

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https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

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$$\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac1{1-q}\text{ für } \vert q\vert<1.$$

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also kommt bei der a)

=1/(1-0,5i) heraus?

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Da die Summe erst mit \(n=1\) beginnt, muss noch \(1\) subtrahiert werden.

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also kommt (1/(1-0,5i))-1 raus.

weiter kann man das nicht vereinfachen?

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Erweitere den Bruch mit \(1+\frac12i\). Dann wird der Nenner reell. Die Summe sollte \(-\frac15+\frac25i\) sein.

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zur b: was ist eine teleskopsumme?

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$$\sum_{k=1}^N\frac2{4k^2-1}=\sum_{k=1}^N\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)=1-\frac1{2N+1}.$$Von der Summe bleiben nur der erste und letzte Summand übrig, alle anderen addieren sich zu Null.

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und was setze ich dann am schluss für N ein?

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Bilde den Grenzwert für \(N\to\infty\).

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also kommt am ende 1 raus?

kann noch jemand bei aufgabe 2 helfen?

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Halbieren nicht vergessen.

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halbieren???

ich hab doch da dann stehen 1- 1/(unendlich+1) = 1

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Korrekt. Hier wurde aber die doppelte Reihe berechnet (im Zähler eine \(2\)).

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2a  divergiert, da die Summanden offenbar keine Nullfolge bilden.

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da steht doch eine 1..

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ok, 2a ist mir klar. ich denke auch das ich 2b mit majorantenkriterium und c mit quotientenkriterium lösen muss, aber wie stelle ich das genau an?

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Oben wurde \(\sum\frac2{4k^2-1}\) und nicht \(\sum\frac1{4k^2-1}\) berechnet. Deswegen halbieren.

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kann noch jemand bei 2b-d helfen?

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hab bei (c) mit quotientenkriterium gemacht und hatte dann 1 raus. und (d) mit wurzelkriterium. aber wegen i weiß ich nicht, was mir das sagen soll. also ob es konvergiert oder nicht.

übrigens das mit der teleskopsumme, keine Ahnung ob man das so machen kann, weil wir das in der Vorlesung nicht gehabt haben.

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Alternativ kannst du auch per Induktion über \(N\) zeigen, dass für alle \(N\ge1\) gilt$$\sum_{k=1}^N\frac1{4k^2-1}=\frac N{2N+1}.$$

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aufgabe 3 habe ich leider noch nicht verstanden

Answer 1

Bei 1a) geobetr. Reihe, mit partial-Summe bis k:

f(k)=(1/5-2/5*i) * ((i/2)^k -1)

lim f(k) = -1/5 +2/5 *i

bei 3) siehe http://www.gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html

§4: höchste Potenz ist ausschlaggebend, was mit der max(...) gemeint ist

Comments

leider verstehe ich bei der 3 nicht was du meinst.. ich sehe gerade keinen zusammenhang zwischen meiner aufgabe und punkt 4 auf der website

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bekannt ist, dass Summen nur konvergieren, wenn Potenz >=2 ist also

sum 1/n² konvergiert

(Dein n ist dort bei §4 die Variable x)

also wird aus ... max(a_i...)-max(b_j..) <=-2 durch Anpassung:

wenn max(m6+3, m5+1) - max(5, m3) >=2, dann konvergiert die ganze Summe

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Hi hyperG

bekannt ist, dass Summen nur konvergieren, wenn Potenz >=2 ist also

was meinst du damit?