Aufgabe:
Sei (an)n eine monoton fallende Folge, so dass an≥ 0 für alle n∈ℕ. Definieren Sie die folgenden endlichen Summen:
Xn= \( \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} \) , Yn= \( \sum\limits_{i=0}^{n}{2^i\cdot a_{2i}} \)
a) Für jedes n ∈ ℕ wähle k ∈ ℤ, so dass 2k≤ n < 2k+1, und zeige das sn ≤ tk ≤ 2sn
b) Beweise, dass \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) nur dann konvergiert, wenn \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{2^n\cdot a_{2^n}} \) konvergiert.
c) Zeige, dass \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}} \) nur dann konvergiert, wenn p > 1.
