Konvergenz und Berechnung von geometrischen Summen

Question

Hallo ich bräuchte etwas Hilfe bei 3 eigentlich nicht so schweren Aufgaben

ich muss die folgenden Reihen auf Konvergenz prüfen wie aber nicht genau wie ich das anstellen soll

a)   ∑^∞_k=1  √2/k                                                               b) ∑^∞_k=0 (5/6)^k * √k

und außerdem soll ich noch diese Aufgabe berechnen, da hab ich jedoch überhaupt keine Ahnung wie ich da dran gehen soll :

∑^∞k=1   (1/k - 1/k+2)

Ich danke schon mal im voraus :)

Answer 1

∑^∞_k=1  √2/k                wenn es   ∑^∞_k=1  (√2) /k              ist , dan ist das ja   (√2)  * harmonische Reihe,

also divergent.

wenn es     ∑^∞_k=1  √(2/k)      ist, dann ist es   (√2)  *   ∑^∞_k=1  (1 /√k )  

und weil für alle k aus N     1 /√k  >  1/k  ist, ist die harmonische Reihe eine

divergente Minorante, also divergiert deine Reihe auch.

∑^∞_k=0 (5/6)^k * √k  hier hilft das Quotientenkriterium

a_n+1 / a_n =  (  (5/6)^k+1 * √(k+1)  )  /    (  (5/6)^k * √k  )

= (5/6) * √((k+1)/k) = (5/6) * √(1+1/k) 

und weil für k>6 jeden falls  √(1+1/k) < √(1+1/6) = √(7/6) < 7/6  ist,

gilt a_n+1 / a_n = (5/6) * √(1+1/k) < (5/6)*(7/6) = 35/36 < 1

Also gibt es ein q<1 nämlich 35/36, so dass für alle n>6  

a_n+1 / a_n ≤ q < 1 gilt.  Also ist die Reihe konvergent.

∑^∞k=1   (1/k - 1/k+2)  heißt wohl  ∑^∞k=1   (1/k - 1/(k+2)) 

Das ist eine Teleskopsumme. Etwa bis z wäre es

∑^zk=1   (1/k - 1/(k+2))

=   ∑^zk=1   1/k       -        ∑^zk=1  1/(k+2)

beide Summen haben außer den ersten bzw. letzten beiden

Summanden alle anderen Summanden gleich.

Beim Subtrahieren heben die sich also auf und es bleibt

1 + 1/2   -  1/(z+1) - 1(z+2)

Für z gegen unendlich gehen die hinteren beiden gegen 0

und es bleibt  1 + 1/2  = 3/2 .

Das ist der Grenzwert der unendlichen Reihe, also konvergent.