Das zweite Glied einer geometrischen Folge ist um vier größer als das erste und das dritte um ...

Question

Arithmetische und Geometrische Zahlenfolge: 

Bsp 1: Das zweite Glied einer geometrischen Folge ist um vier größer als das erste und das dritte um nein kleiner als das vierte. Wie lautet die Folge?

Bsp 2: Die Summe der drei Glieder einer geometrischen Reihe ist 39. Die Summe ihrer Quadrate ist 741. Wie lautet die Reihe?

Bitte um Lösungvorschläge

Comments

Annahme: das dritte um neun kleiner als das vierte. ok?

a₂ - 4 = a₁

a₃ +9 = a₂

nun benutzen, dass a₂ = qa₁ und a3=q^2 a₁.

qa1 - 4 = a1

q^2 a1 + 9 = qa1

Nenne a1 =x

qx - 4 = x          

q^2 x + 9 = qx

Nun hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Schau erst mal, ob das bis hierher stimmt. Dann kannst du z.B. mit der Einsetzmethode das Gleichungssystem auflösen.

Kontrolle damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=qx+-+4+%3D+x++++++++%2C++++q%5E2+x+%2B+9+%3D+qx

Answer 1

Bsp 2: Die Summe der drei Glieder einer geometrischen Reihe ist 39. Die Summe ihrer Quadrate ist 741. Wie lautet die Reihe?

1.                       a + aq +aq^2 = 39

2.         a^2 + a^2 q^2 + a^2 q^4 = 741

1.'              a(1+q+q^2) = 39

--------> a=39/(1+q+q^2)

2.'      a^2 ( 1+q^2 + q^4 ) = 741

a einsetzen

(39/(1+q+q^2))^2 * (1+q^2 + q^4) = 741

39^2 (1+q^2+q^4) = 741(1+q+q^2)^2        |:39

39 (1+q^2+q^4) = 19 (1+q+q^2)^2 

Jetzt ausmultiplizieren (einfach) und auflösen nach q(etwas schwierig: Daher unten mal der Link zu einem Programm, das das kann. Du müsstest noch angeben, welche Verfahren du kennst). Ergibt q1=2/5 und q2=5/2

Dann für beide q noch das a=39/(1+q+q^2) berechnen. (Das ist wieder einfach)

ergibt a1= 25 und a2=4

https://www.wolframalpha.com/input/?i=39+%281%2Bq%5E2%2Bq%5E4%29+%3D+19%281%2Bq%2Bq%5E2%29%5E2+

Vielleicht hast du ja selbst eine bessere Idee zur Auflösung von 

1.                       a + aq +aq^2 = 39

2.         a^2 + a^2 q^2 + a^2 q^4 = 741 ?

Comments

Vielleicht so: q⁴ + q² + 1 = (q² + q + 1)·(q² - q + 1). Kürzen statt ausmultiplizieren. Problemlos, da  q² + q + 1  keine reellen Nullstellen hat. Anschließend Mitternachtsformel.

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Super Tipp! Besten Dank!

39 (1+q²+q⁴) = 19 (1+q+q²)²       |Faktorisieren, wie im Kommentar

39(q^2 + q + 1)(q^2 - q + 1) = 19 (1+q+ q^2)^2

39(q^2 - q + 1) = 19 (1+q+ q^2) 

39q^2 - 39q + 39 = 19 + 19q + 19q^2

20q^2 - 58q + 20= 0. Nun Mitternachtsformel.

q1 = 2/5 und q2=5/2 usw. wie oben.