Vollständige Induktion einer rekursiven Funktion

Question

Hey mathelounge,

wie beweise ich anhand vollständiger Induktion, dass die rekursive Funktion mit x(1) = 2 und x(y+1)= 2 - 1 / x(y),

y element der natürlichen Zahlen (N),

$$ \forall y\in { N }:x(y)=\frac { y+1 }{ y } $$  ist? (auch hier steht N für Menge der nat. Zahlen)

Ich hab es mal probiert, habe zuerst x(1) berechnet, da kam auch wie gefordert 2 raus. Dann habe ich x(y+1) eingesetzt, also $$ \frac { y+1 }{ y } $$ + (y+1), da kommt dann aber totaler Müll raus $$ \frac { y^2 + 2y + 1 }{ y } $$

Könnt ihr mir weiterhelfen ? :)

Answer 1

Induktionsschritt:

$$ x(y+1) = 2 - \frac{1}{x(y)} = 2 - \frac{y}{y+1} = \frac{y+2}{y+1} $$

Gruß

Comments

Sorry, dann probier ich es mal ohne Latex:

Wie kommst du von

2 - y / y+1 zu y+2 / y+1 ?

Und reicht der Schritt schon, um x(y) = y+1 / y?

Danke für deine Hilfe :-)

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\(2 = \frac{2(y+1)}{y+1} \)

Wenn du auf die Art und Weise schreibst musst du auch Klammern benutzen.

Ja das reicht, du solltest dir vielleicht nochmal überlegen was genau im Induktionsschritt genau gezeigt werden soll :).