Question

Berechne unter Anwendung von Äquivalenzumformungen für Determinaten:

$$ \operatorname { det } \left( \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { - 3 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 2 } & { 2 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \quad \operatorname { det } \left( \begin{array} { c c c c c } { \cos \varphi _ { 1 } } & { 0 } & { - \sin \varphi _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sin \varphi _ { 1 } } & { 0 } & { \cos \varphi _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cos \varphi _ { 2 } } & { - \sin \varphi _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sin \varphi _ { 2 } } & { \cos \varphi _ { 2 } } \end{array} \right) \left( \sin \varphi _ { 1 } \neq 0 \right) $$

DIe erste Determinante habe ich bereits berechnet

Answer 1

Satz über Blockmatrizen gibt für die 2. Det:

(ich lass das phi mal weg:

Det von

cos  0   sin 

0      1    0

sin    0    cos       

mal

Det von 

cos  - sin

sin   cos

und  Det von

cos  0   sin 

0      1    0

sin    0    cos    ist  (Entwickl. nach der 2. Zeile

-1 *   cos   sin        =   -1 * ( cos^2 + sin^2 ) = -1 * 1 =  -1
         sin    cos
und Det von

cos  - sin

sin   cos
ist = 1 wegen  cos^2 + sin^2 = 1
Also insgesamt

-1 * 1 = -1