Wie kann man Abstände von Ebenen und Lotfusspunkt bestimmen?

Question

Hallo miteinander, ich habe ein paar Fragen zu folgender Aufgabe:

Gegeben sei eine Ebene E in ihrer Parameterdarstellung durch E : x =(0 ,1, 1 ) +  (−1, 0, 1 )+ λ0 1 0  ,µ,λ ∈ R .

b) Bestimmen Sie den Abstand von w = (1,1,1)T von der Ebene E sowie die orthogonale Projektion PE(w) von w auf E (Lotfußpunkt).

c) Liegt w auf derselben Seite von E wie der Koordinatenursprung? Begründen Sie Ihre Antwort

Ich weiß nicht genau was mit den beiden Fragen gemeint ist (vor Allem b). Kann mir eventuell jemand den Sachverhalt anschaulich erklären oder mir gegebenenfalls einen möglichen Lösungsweg zeigen?

Answer 1

statt lambda und my schreibe ich mal s und t. Dann sieht jeder Punkt der Ebene so aus:

P ( -s ; 1+t ; 1+s)  wenn du den mit w verbindest, ist der Verbindungsvektor   w - ( -s ; 1+t ; 1+s)

= ( 1+s ; -t  , -s ).

Damit die Verbindung von P nach W möglichst kurz ist, muss der Verbindungsvektor auf der

Ebene (also auf beiden Richtungsvektoren der E.) senkrecht stehen, also Skalarp. = 0

( 1+s ; -t  , -s )* (−1, 0, 1 )=0       und                  ( 1+s ; -t  , -s )*(0 1 0) = 0

-1 - s - s = 0                            und                    -t = 0

also s = -1/2                        und t = 0 also ist der senkrechte und damit kürzeste

Verbindungsvektor  ( 1 -1/2   ; 0   ,    1/2  ) =     (1/2 ; 0 ; 1/2 )

und der hat die Länge    1/2 * wurzel(2) .  Das ist der gesuchte Abstand.

Und der Lotfußpunkt ist w -    (1/2 ; 0 ; 1/2 ) = ..........

Und wenn du von 0 aus eine Gerade mit dem Richtungsvektor   (1/2 ; 0 ; 1/2 )

mit der Ebene schneidest, siehst du ja ob der Parameter pos. oder neg. wird.

Daraus kannst du schließen, ob es die gleiche oder die andere Seite von E ist.

Comments

Sehr gut erklärt, danke!

Ist jetzt aber dein s= lambda und dein t= my oder andersherum?