Löse folgende Exponentialgleichung: 2• 7^x -7^{x-1} = 13/49

Question

Guten Morgen allerseits! 

Ich habe ein Problem bei den folgenden zwei Aufgaben, ich weiß nicht wie ich da anfangen soll. Ich bin ewig dran gesessen, weiß aber nicht wie ich sie lösen soll! Ich hoffe, jemand von euch kann mir weiterhelfen!

1) 2^x +3• 2^x+1 = 28     Lösung=2

2) 2• 7^x -7^x-1 = 13/49      Lösung= -1

Alina

Answer 1

1) Es ist 2^x+1=2·2^x. Damit kannst du 2^x ausklammern.

2) genauso.

Comments

Ok, danke. Das Problem ist nur, ich habe nicht verstanden, was Sie gemacht haben. Und wo ist die drei verschwunden? Und die 28?

Und bei der zweiten Rechnung weiß ich nicht mal, wie ich anfangen soll!

Dankeschön

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> ich habe nicht verstanden, was Sie gemacht haben

Ich habe eine Gleichung angegeben, die allgemeingültig ist. Hast du verstanden, warum sie allgemeingültig ist?

Weil die Gleichung allgemeingültig ist, darfst du in deiner Gleichung 2^x +3• 2^x+1 = 28 das 2^x+1 ersetzen durch 2·2^x.

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Da das meine erste Exponentialgleichung ist, weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich das lösen soll. Deswegen verstehe ich nicht, wie Sie diese Gleichung gelöst haben. Wenn es Ihnen nichts ausmacht, würden Sie mir bitte helfen? Dankeschön!! :)

Alina

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Ich habe die Gleichung nicht gelöst. Ich habe einen Hinweis gegeben, wie sie gelöst werden kann. Nämlich so:

In der Gleichung

        2^x +3• 2^x+1 = 28

wird 2^x+1 ersetzt durch 2·2^x. Das ist erlaubt, weil 2^x+1=2·2^x ist, unabhängig davon welchen Wert x hat. Man kommt dadurch zu der Gleichung  

        2^x +3•(2•2^x) = 28,

welche sich zu aufgrund des Assoziativgesetzes zu

        2^x +6•2^x = 28

vereinfachen lässt. Da 2^x = 1•2^x ebenfalls gilt, unabhängig davon welchen Wert x hat, kann man das erste 2^x ersetzen durch 1•2^x und bekommt so 

        1•2^x +6•2^x = 28.

Nun klammert man 2^x aus (Distributivgesetz) und bekommt so

        (1+6)•2^x = 28,

was sich zu 

        7•2^x = 28

vereinfachen lässt. Division durch 7 liefert dann

        7•2^x/7= 28/7

oder vereinfacht

        2^x = 4

Offensichtlich gilt dann

        x=2.

Answer 2

7^x (2-1/7) = 13/49

7^x *(13/7) = 13/49

7^x = 1/7 = 7^{-1}

x = -1 (Exponentenvergleich)