Berechnen Sie Konvergenz oder bestimmte Konvergenz der Folgen

Question

Hallo ich habe hier 3 Aufgaben, die sich gegen die Standardaufgaben die ich bis jetzt gemacht habe richten,

Welche der Folgen sind konvergennt und welche sind bestimmt divergent, dazu soll dazu soll der Grenzwert gebildet werden.

Ich kenne das so, dass man mit n ausklammert und dann n unendlich einsetzt, aber das geht hier ja nicht so richtig.

wäre toll wenn mir jemand die Lösungsweg erklären würde.

Danke

Answer 1

für y_n :   Denke dir das Ganze als Bruch mit dem Nenner 1 und erweitere mit der Summe der Wurzeln und wende im Zähler 3. binomi. Fo. an. Dann gibt das  

= (  n^2 + n   - ( n^2 - n )   )   /    ( wurzel( n^2 + n)   +  wurezl ( n^2 - n )   )

= ( 2 n )     /    ( wurzel( n^2 + n)   +  wurezl ( n^2 - n )   )

= ( 2 n )     /    ( wurzel( n^2 (1 + 1/n))   +  wurzel ( n^2 ( 1 - 1/n ))   )

= ( 2 n )     /    ( n*wurzel(1 + 1/n)   +  n*wurzel ( 1 - 1/n )   )

= ( 2 n )     /    ( n*(wurzel(1 + 1/n)   + wurzel ( 1 - 1/n )   )   )  n kürzen und

man sieht: Grenzwert ist  2 / (1+1)   =   1

cos ist beschränkt durch 1 und -1 und  1/n geht gegen 0, also alles gegen 0.

Comments

n! / n^n =  1/n *  2/n * 3/n * 4/n * ......* (n-1) / n * n/n

=  1/n *  2/n * 3/n * 4/n * ......* (n-1) / n 

und die Faktoren sind alle < 1 also ist das Produkt < 1/n ;

denn wenn man 1/n mit Faktoren <1 multipliziert, wird das Erg. immer kleiner.

Also liegen die Glieder deiner Folge alle zwischen 0 und 1/n.

Da letzteres gegen 0 geht , hat auch diese Folge den GW 0.