Umfang eines Kreisstückes gering mit vorgegebener Fläche

Question

Ich würde die Gleichung mit dem Umfang irgendwie entweder nach r oder dem Winkel umstellen. Dann die Ableitung bilden um das Minimum heraus zu bekommen.

Ich bin mir allerdings nicht so sicher....

Ich wäre dankbar für eure Hilfe

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Die Umfangsfunktion ist die Zielfunktion. Diese würde ich nicht umstellen. Aber sie hat 2 Variablen, nämlich Winkel und Radius. Du musst eine davon rauswerfen. Das geht, indem du die Flächenfunktion auflöst nach einer der beiden Variablen und dann die Flächenfunktion mit Hilfe dieser Variablen in die Umfangsfunktion einsetzt. Wenn du dann nur noch eine Variable hast, die Umfangsfunktion ableiten und Nullsetzen.

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Ich habe die fläche nach r umgestellt und dann r in der Formel für den Umfang ersetzt. Ich habe

U = 2π . √360A/πΦ . Φ/360 herausbekommen.

Wie gehe ich mit dem "A" um, wenn ich es ausschreiben würde, würde ja wieder r auftauchen und wie leite ich das ab?

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A bleibt einfach stehen. Es wird in der Aufgabe angenommen, dass A gegeben ist.

Answer 1

A = π·r²·φ/360 ⇒ φ = 360A/(πr²)

Es ist U = 2πr·φ/360 + 2r.

φ eingesetzt liefert U(r) = 2πr·360A/(360πr²)  + 2r = 2A/r + 2r.

Bei der Ableitung wird A genau so behandelt wie π.

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Wie kommt man auf die 2r bei der Umgangsformel?

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Stelle dich an eine Ecke des Tortenstücks. Gehe ein mal um das Tortenstück herum bis du dort angekommen bist, von wo du gestartet bist. Die Länge des Weges, den du gegangen bist, nennt man Umfang.